Плотность множества

Пло́тность мно́жества ${\displaystyle E}$, измеримого на действительной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, в точке ${\displaystyle x,}$ предел (если он существует) отношения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {mes} (E\cap \Delta )}{|\Delta |}}\ \ {\text{ при }}\ |\Delta |\to 0,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ – произвольный отрезок, содержащий ${\displaystyle x}$, а ${\displaystyle |\Delta |}$ – его длина. Если вместо меры рассматривать внешнюю меру, то получится определение внешней плотности множества ${\displaystyle E}$ в точке ${\displaystyle x}$. Аналогично вводится плотность множества в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве. При этом длины отрезков в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ заменяются объёмами соответствующих ${\displaystyle n}$-мерных параллелепипедов с гранями, параллельными координатным плоскостям, а предел рассматривается при стремлении к нулю диаметра параллелепипеда. Для множеств из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ оказывается полезным понятие правой (левой) плотности множества ${\displaystyle E}$ в точке ${\displaystyle x}$, которое получается из общего определения, если в нём рассматривать лишь отрезки ${\displaystyle \Delta }$, имеющие левым (правым) концом точку ${\displaystyle x}$. Чаще всего понятие плотности множества применяется в случае, когда плотность множества равна единице (точка плотности) или нулю (точка разрежения).