Норма в математике

Но́рма в матема́тике, обобщение понятия абсолютной величины числа. Например, нормой вектора ${\displaystyle x}$ называется его длина ${\displaystyle \|x\|}$, нормой матрицы ${\displaystyle A}$ – число, где ${\displaystyle \sup {\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}}$ означает точную верхнюю грань по всем ${\displaystyle x}$ (см. Инфимум и супремум).

Нормой ${\displaystyle \|x\|}$ элемента ${\displaystyle x}$ векторного пространства ${\displaystyle X}$ называется отображение ${\displaystyle x\rightarrow \|x\|}$ векторного пространства ${\displaystyle X}$ над полем действительных или комплексных чисел в совокупность действительных чисел, подчинённое условиям: ${\displaystyle \|x\|\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle \|x\|=0}$ только при ${\displaystyle x=0;\,\|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|}$ для каждого скаляра ${\displaystyle \lambda }$; ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$ для всех ${\displaystyle x,y\in X}$ (неравенство треугольника).

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством. С помощью нормы в нормированном векторном пространстве можно определить норму для линейных функционалов ${\displaystyle f(x)}$ по формуле

${\displaystyle \|f\|=\sup {\dfrac {|f(x)|}{\|x\|}}}$

и для линейных операторов ${\displaystyle A}$ по формуле

${\displaystyle \|A\|=\sup {\dfrac {\|Ax\|}{\|x\|}}}$.

Знак ${\displaystyle \|\,\|}$ для обозначения нормы ввёл немецкий математик Э. Шмидт (1908).