Сопряжённое пространство

Сопряжённое простра́нство к топологическому пространству ${\displaystyle E}$, векторное пространство ${\displaystyle E^{*}}$, состоящее из непрерывных линейных функционалов на ${\displaystyle E}$. Если ${\displaystyle E}$ – локально выпуклое пространство, то функционалы ${\displaystyle f\in E^{*}}$ разделяют точки ${\displaystyle E}$ (теорема Хана – Банаха). Если ${\displaystyle E}$ – нормированное пространство, то ${\displaystyle E^{*}}$ является банаховым пространством относительно нормы

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}{\text{. }}}$

Наряду с сильной топологией, определённой нормой ${\displaystyle \|f\|}$, в ${\displaystyle E^{*}}$ рассматривают и слабую ${\displaystyle *}$-топологию.