Равномерная ограниченность

Равноме́рная ограни́ченность сверху (снизу), свойство семейства действительных функций ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {A}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ – некоторое множество индексов, ${\displaystyle X}$ – произвольное множество, означающее, что существует такая постоянная ${\displaystyle c>0}$, что для всех ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {A}}}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\leq c}$ [соответственно, ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\geq -c}$].

Семейство функций ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {A}}}$, называется равномерно ограниченным, если оно равномерно ограниченно как сверху, так и снизу.

Понятие равномерной ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {A}}}$, ${\displaystyle X}$ – произвольное множество, а ${\displaystyle Y}$ – полунормированное пространство с полунормой (нормой) ${\displaystyle }$
${\displaystyle mid\cdot }$
${\displaystyle mid_{Y}}$, называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная ${\displaystyle {\text{с}}>0}$, что для всех ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {A}}}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство ${\displaystyle }$
${\displaystyle midf_{\alpha }(x)}$
${\displaystyle mid_{Y}\leq c}$. Если в пространстве ${\displaystyle \left\{X\to Y\right\}}$ ограниченных отображений ${\displaystyle f:X\to Y}$ ввести полунорму (норму) по формуле

${\displaystyle }$
${\displaystyle midf}$
${\displaystyle mid_{\{X\to Y\}}={\underset {x\in X}{\operatorname {sup} }}}$
${\displaystyle midf(x)}$
${\displaystyle mid_{Y}}$,

то равномерная ограниченность множества функций ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y}$, ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {A}}}$, означает ограниченность этого множества в пространстве ${\displaystyle \left\{X\to Y\right\}}$ с полунормой ${\displaystyle }$
${\displaystyle mid\cdot }$
${\displaystyle mid_{\{X\to Y\}}}$.

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений ${\displaystyle f:X\to Y}$ в упорядоченные в том или ином смысле множества ${\displaystyle Y}$.