Интервал и отрезок

Интерва́л и отре́зок, простейшие множества точек на прямой. Интервалом (открытым промежутком) называется множество точек на прямой, заключённых между точками ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, причём сами точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ в интервал не включаются. Отрезком (сегментом, замкнутым промежутком) называется множество точек на прямой, заключённых между точками ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a\leqslant b}$, причём сами точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ включаются в отрезок. Термины «интервал» и «отрезок» используются также для соответствующих множеств действительных чисел: интервал состоит из чисел ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих неравенствам ${\displaystyle a<\{x\}<\{b\}}$, сегмент – из чисел ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих неравенствам ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$. Интервал обозначается ${\displaystyle (a,\,b)}$, иногда${\displaystyle ]a,\,b[}$, отрезок обозначается ${\displaystyle [a,\,b]}$.

Термин «интервал» (чаще «промежуток») употребляют и в более широком смысле для обозначения произвольного связного множества на прямой. В этих случаях имеются в виду собственно интервал ${\displaystyle (a,\,b)}$, бесконечные (несобственные) интервалы ${\displaystyle (-\infty ,\,a),\,(a,\,+\infty ),\,(-\infty ,\,+\infty )}$, отрезок ${\displaystyle [a,\,b]}$ и полуинтервалы (полуотрезки) ${\displaystyle [a,\,b),\,(a,\,b],\,(-\infty ,\,a],\,[a,\,+\infty )}$. При этом круглая скобка означает, что соответствующий конец интервала не принадлежит, а квадратная, что он принадлежит к рассматриваемому множеству. Например, ${\displaystyle (a,\,b]}$ обозначает множество чисел ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих неравенствам ${\displaystyle a<{x}\leqslant {b}}$.

Обозначение ${\displaystyle (a,\,b)}$ ввёл немецкий математик Г. Ковалевский (1909), ${\displaystyle [a\,<b]}$ – немецкий математик Х. Хан (1921).