Пространство Соболева

Простра́нство Со́болева, пространство ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$ функций ${\displaystyle f=f(x)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$, определённых на множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ (обычно открытом) и интегрируемых с ${\displaystyle p}$-й степенью их модуля вместе со своими обобщёнными производными до порядка ${\displaystyle l}$ включительно ${\displaystyle (1\leqslant p\leqslant \infty )}$.

Норма функции ${\displaystyle f\in W_{p}^{l}(\Omega )}$ определяется при помощи равенства

${\displaystyle \|f\|_{W_{p}^{l}(\Omega )}^{l}=\sum _{|k|\leqslant l}\left\|f^{(k)}\right\|_{L_{p}(\Omega )}.}$ (1)

Здесь

${\displaystyle f^{(k)}={\frac {\partial ^{|k|_{f}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}\ldots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\quad f^{(0)}=f}$,

есть обобщённая частная производная от ${\displaystyle f}$ порядка ${\displaystyle |k|=\sum _{j=1}^{n}k_{j}}$ и норма

${\displaystyle \|\psi \|_{Lp(\Omega )}=\left(\int _{\Omega }|\psi (x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}\quad (1\leqslant p\leqslant \infty )}$.

При ${\displaystyle p=\infty }$ эта норма равна существенному максимуму:

${\displaystyle \|\psi \|_{L_{\infty }(\Omega )}=\sup _{x\in \Omega }\operatorname {vrai} |\psi (x)|\quad (p=\infty )}$,

т. е. нижней грани чисел ${\displaystyle A}$, для которых неравенство ${\displaystyle A<|\psi (x)|}$ имеет место на множестве меры нуль.

Пространство Соболева ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$ определено и впервые применено в теории краевых задач математической физики в статье (^[1]) и книге (^[2]).

Благодаря тому что в определении пространства Соболева участвуют не обычные, а обобщённые производные, оно является полным, т. е. банаховым пространством.

Наряду с ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$ рассматривается его линейное подпространство, обозначенное ${\displaystyle W_{pc}^{l}(\Omega )}$ и состоящее из функций, имеющих равномерно непрерывные на ${\displaystyle \Omega }$ частные производные ${\displaystyle l}$-го порядка. Подпространство ${\displaystyle W_{pc}^{l}(\Omega )}$ имеет преимущества перед ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$, однако оно не замкнуто в метрике ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$ и само по себе не является полным пространством, но для широкого класса областей (с липшициевой границей, см. ниже) при ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ пространство ${\displaystyle W_{pc}^{l}(\Omega )}$ плотно в ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$, т. е. для таких областей пространство ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$, кроме полноты, приобретает новое свойство, заключающееся в том, что каждая принадлежащая к нему функция может быть как угодно хорошо приближена в метрике ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$ функциями из ${\displaystyle W_{pc}^{l}(\Omega )}$.

Выражение ${\displaystyle (1)}$ для нормы функции ${\displaystyle f\in W_{p}^{l}(\Omega )}$ удобно заменить на следующее выражение:

${\displaystyle \|f\|_{W_{p}^{l}(\Omega )}^{\prime }=\left(\int _{\Omega }\sum _{|k|\leqslant l}|f^{(k)}(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}\quad (1\leqslant p<\infty ).}$ (1')

Норма ${\displaystyle (1')}$ эквивалентна норме ${\displaystyle (1)}$ (т. е. ${\displaystyle c_{1}\|f\|\leqslant \|f\|^{\prime }\leqslant c_{2}\|f\|}$, где ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ не зависят от ${\displaystyle f}$). При ${\displaystyle p=2}$ норма ${\displaystyle (1')}$ гильбертова, и это широко используется в приложениях.

Граница ${\displaystyle \Gamma }$ ограниченной области ${\displaystyle \Omega }$ называется липщицевой, если, какова бы ни была точка ${\displaystyle x^{0}\in \Gamma }$, найдётся прямоугольная система координат ${\displaystyle \xi =\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right)}$ с началом в этой точке и прямоугольник

${\displaystyle \Delta =\left\{\xi :|\xi |<\delta ,\,\,j=1,\ldots ,n-1,\,\,\left|\xi _{n}\right|<\delta \right\}}$

такой, что пересечение ${\displaystyle \Gamma \Delta }$ описывается функцией ${\displaystyle \xi _{n}=\psi \left(\xi ^{\prime }\right)}$,

${\displaystyle \xi ^{\prime }=\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n-1}\right)\in \Delta ^{\prime }=\left\{\xi ^{\prime }:\left|\xi _{j}\right|<\delta ,\,\,j=1,\ldots ,n-1\right\}}$,

удовлетворяющей на ${\displaystyle \Delta ^{\prime }}$ (проекции ${\displaystyle \Delta }$ на плоскость ${\displaystyle \xi _{n}=0}$) условию Липшица

${\displaystyle \left|\psi \left(\xi _{1}^{\prime }\right)-\psi \left(\xi _{2}^{\prime }\right)\right|\leqslant M\left|\xi _{1}^{\prime }-\xi _{2}^{\prime }\right|,\quad \xi _{1}^{\prime },\xi _{2}^{\prime }\in \Delta ^{\prime }}$,

где константа ${\displaystyle M}$ не зависит от указанных точек ${\displaystyle \xi _{1}^{\prime },\xi _{2}^{\prime }}$ и ${\displaystyle |\xi |^{2}=\sum _{j=1}^{n-1}\xi _{j}^{2}}$. Гладкие и многие кусочно гладкие границы охватываются понятием липшицевой границы.

Для области с липшицевой границей норма ${\displaystyle (1)}$ эквивалентна следующей:

${\displaystyle \|f\|_{W_{p}^{l}(\Omega )}=\|f\|_{Lp(\Omega )}+\|f\|_{w_{p}^{l}(\Omega )}^{\prime }}$,

где полунорма

${\displaystyle \|f\|_{w_{p}^{l}(\Omega )}^{\prime }=\sum _{|k|=l}\left\|f^{(k)}\right\|_{L_{p}(\Omega )}}$.

Можно рассматривать более общие анизотропные пространства (классы) ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$, где ${\displaystyle l=\left(l_{1},\ldots ,l_{n}\right)}$ – положительный вектор (см. в статье Теоремы вложения). Для каждого такого вектора ${\displaystyle l}$ эффективно и в известной мере исчерпывающе определяется класс областей ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{(l)}}$, обладающих тем свойством, что если ${\displaystyle \Omega \subseteq {\mathfrak {M}}^{(l)}}$, то любую функцию ${\displaystyle f\in W_{p}^{l}(\Omega )}$ можно продолжить на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с сохранением класса. Точнее говоря, можно определить на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ функцию ${\displaystyle {\bar {f}}(x)}$ со свойствами

${\displaystyle {\bar {f}}(x)=f(x),\quad x\in \Omega ,\quad \|{\bar {f}}\|_{W_{p}^{l}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant c\|f\|_{W_{p}^{l}(\Omega )}}$,

где ${\displaystyle c}$ не зависит от ${\displaystyle f}$ (^[3]).

Благодаря этому свойству неравенства типа теорем вложения для функций ${\displaystyle f\in W_{p}^{l}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ автоматически переносятся на функции ${\displaystyle f\in W_{p}^{l}(\Omega )}$, ${\displaystyle \Omega \in {\mathfrak {M}}^{(l)}}$.

Для векторов вида ${\displaystyle l=\left(l_{1},\ldots ,l_{n}\right)}$ области ${\displaystyle \Omega \in {\mathfrak {M}}^{(l)}}$ имеют липшицевы границы. Для них ${\displaystyle W_{p}^{\prime }(\Omega )=W_{p}^{\prime }(\Omega )}$.

Исследование пространств (классов) ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )\left(\Omega \in {\mathfrak {M}}^{(l)}\right)}$ ведётся на основе специальных интегральных представлений функций, принадлежащих этим классам. Первое такое представление получено (Соболев. 1938, Соболев. 1962) для изотропного пространства ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$ области ${\displaystyle \Omega }$, звёздной относительно некоторого шара. Дальнейшее развитие этого метода см., например, в книге (Бесов. 1996).

Классы ${\displaystyle W_{p}^{l}}$ и ${\displaystyle W_{p}^{l}}$ получили обобщение на случай дробных чисел или векторов ${\displaystyle l=\left(l_{1},\ldots ,l_{n}\right)}$ с дробными компонентами ${\displaystyle l_{j}}$.

Пространство ${\displaystyle W_{p}^{l}(\Omega )}$ рассматривают и для отрицательных целых ${\displaystyle l}$. Элементами его являются, вообще говоря, обобщённые функции ${\displaystyle f}$, т. е. линейные функционалы ${\displaystyle (f,\varphi )}$ над финитными в ${\displaystyle \Omega }$, бесконечно дифференцируемыми функциями ${\displaystyle \varphi }$.

По определению, обобщённая функция ${\displaystyle f}$ принадлежит классу ${\displaystyle W_{p}^{-l}(\Omega )}$ при натуральном ${\displaystyle l=1,2,3,\ldots }$ , если конечна верхняя грань:

${\displaystyle \|f\|_{W_{p}^{-l}(\Omega )}=\sup(f,\varphi )}$,

распространённая на указанные функции ${\displaystyle \varphi }$ с нормой в метрике ${\displaystyle W_{q}^{l}(\Omega )}$, не превышающей единицу ${\displaystyle (1/p+1/q=1)}$. Можно ещё сказать, что функции ${\displaystyle f\in W_{p}^{-l}(\Omega )}$, ${\displaystyle l=1,2,\ldots }$, образуют пространство, сопряжённое к банахову пространству ${\displaystyle W_{q}^{l}(\Omega )}$.