Скалярное произведение

Скаля́рное произведе́ние (иногда называют внутренним произведением), операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр). Обозначениями скалярного произведения являются: ${\displaystyle {\vec {a}}\,{\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$, ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})}$, ${\displaystyle \langle {\vec {a}},\,{\vec {b}}\rangle }$. Последнее является обозначением П. Дирака, которое применяется в квантовой механике.

На плоскости и в трёхмерном пространстве (пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$), для которых угол между двумя векторами определяется геометрически, скалярное произведение двух ненулевых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ есть число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ${\displaystyle \varphi }$ между ними (см. рисунок):

${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})=\left|{\vec {a}}\right|\mid {\vec {b}}\mid \cos {\varphi }}$.

В общем случае скалярное произведение ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})}$ ненулевых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ вещественного векторного пространства есть функция от ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ с вещественными значениями, удовлетворяющая следующим требованиям:

1) для любого вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ выполнено неравенство ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {a}})\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {a}})=0}$ только в случае, если ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {0}}}$ – нулевой вектор;

2) для любых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ справедливо равенство ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})=({\vec {b}},\,{\vec {a}})}$ (симметрия);

3) для любых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {c}}}$ и чисел ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ выполнено равенство ${\displaystyle (m{\vec {a}}+n{\vec {b}},\,c)=m({\vec {a}},\,{\vec {c}})+n({\vec {b}},\,{\vec {c}})}$ (линейность по первой компоненте); аналогична линейность по второй компоненте.

Длина вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle \mid {\vec {a}}\mid ={\sqrt {({\vec {a}},\,{\vec {a}})}}}$.

Угол ${\displaystyle \varphi }$ между векторами ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ определяется с помощью формулы

${\displaystyle \cos {\varphi }={\frac {({\vec {a}},\,{\vec {b}})}{\mid {\vec {a}}\mid \,\mid {\vec {b}}\mid }}}$.

${\displaystyle n}$-мерное вещественное линейное пространство с определённым в нём скалярным произведением называется евклидовым пространством.

В комплексном векторном пространстве скалярное произведение ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})}$ ненулевых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ задаётся функцией от ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ с комплексными значениями, удовлетворяющей следующим требованиям:

1) для любого вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ выполнено неравенство ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {a}})\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {a}})=0}$ только в случае, если ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {0}}}$ – нулевой вектор;

2) для любых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ справедливо равенство${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})={\overline {({\vec {b}},\,{\vec {a}})}}}$ (симметрия с переходом к сопряжённому);

3) для любых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {c}}}$ и чисел ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ выполнено равенство ${\displaystyle (m{\vec {a}}+n{\vec {b}},\,c)=m({\vec {a}},\,{\vec {c}})+n({\vec {b}},\,{\vec {c}})}$ (линейность по первой компоненте); аналогична линейность по второй компоненте.

${\displaystyle n}$-мерное линейное пространство над полем комплексных чисел с определённым в нём скалярным произведением называется унитарным (эрмитовым) пространством.

Длина вектора в комплексном векторном пространстве определяется аналогично длине вектора в вещественном векторном пространстве, понятие угла между векторами не вводится.

В евклидовом и унитарном пространствах для любых векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ выполняется неравенство Коши – Буняковского:

${\displaystyle \mid ({\vec {a}},\,{\vec {b}})\mid ^{2}\leqslant ({\vec {a}},\,{\vec {a}})({\vec {b}},\,{\vec {b}})}$.

Как правило, скалярное произведение векторов ${\displaystyle {\vec {a}}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}=\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\}}$ в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве определяется по формуле

${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +\,\ x_{n}y_{n}}$,

а в ${\displaystyle n}$-мерном унитарном пространстве – по формуле:

${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})=x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+...+x_{n}{\overline {y_{n}}}}$.

В общем случае в евклидовом пространстве с базисом ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\ldots ,{\vec {e}}_{n}}$ скалярное произведение векторов ${\displaystyle {\vec {a}}=x_{1}{\vec {e}}_{1}+x_{2}{\vec {e}}_{2}+\ldots +x_{n}{\vec {e}}_{n}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}=y_{1}{\vec {e}}_{1}+y_{2}{\vec {e}}_{2}+\ldots +y_{n}{\vec {e}}_{n}}$ определено формулой

${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{g_{ij}x_{i}y_{j}}}$,

а в унитарном пространстве – формулой

${\displaystyle ({\vec {a}},\,{\vec {b}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}x_{i}{\overline {y_{j}}}}$,

где ${\displaystyle g_{ij}}$ – элементы симметричной положительно определённой матрицы Грама.

Скалярное произведение также вводится в бесконечномерных пространствах функций. Например, для функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ одной и двух переменных

${\displaystyle (f,\,g)=\int \limits _{a}^{b}K(x)f(x)g(x)\,dx,(f,\,g)=\int \limits _{a}^{b}\!\!\int \limits _{c}^{d}K(x,y)f(x)g(y)\,dxdy,}$

где ${\displaystyle K}$ – положительно определённая функция. В частности, скалярное произведение интегрируемых функций на отрезке ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$ можно определить по формуле

${\displaystyle (f,\,g)=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}$.

Скалярное произведение комплекснозначных непрерывных функций на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ определяется по формуле

${\displaystyle \displaystyle (f,\,g)=\int \limits _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\,dx}$.

Вещественное или комплексное линейное пространство с определённым в нём скалярным произведением называет предгильбертовым.