Инфимум и супремум

И́нфимум и супре́мум (лат. infimum, буквально – самое нижнее; supremum, буквально – наивысшее) (непустого) числового множества, точная нижняя и точная верхняя грани этого множества. Если множество ${\displaystyle A}$ ограничено снизу, то существует число ${\displaystyle m}$, наибольшее из чисел, ограничивающее ${\displaystyle A}$ снизу. Это число называют точной нижней гранью множества ${\displaystyle A}$, обозначают ${\displaystyle \inf A}$ и пишут ${\displaystyle m=\inf \,f\{x:x\in A\}}$. Если множество ${\displaystyle A}$ не ограничено снизу, то полагают ${\displaystyle \inf A=-\infty }$. Аналогично определяется точная верхняя грань множества ${\displaystyle A}$. Если множество ${\displaystyle A}$ ограничено сверху, то ${\displaystyle \sup A}$ – наименьшее из чисел, ограничивающих ${\displaystyle A}$ сверху, а если ${\displaystyle A}$ не ограничено сверху, то ${\displaystyle \sup F=+\infty }$.

Точные нижняя и верхняя грани могут как достигаться, так и не достигаться. Например, если ${\displaystyle A}$ – множество чисел ${\displaystyle x}$ таких, что ${\displaystyle a\leqslant {x}<{b}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a<{b}}$, – некоторые числа, ${\displaystyle \inf A=a}$ и точная нижняя грань достигается на числе ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \sup A=b}$, но точная верхняя грань не достигается. В любом случае существуют последовательности ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\ldots }$ и ${\displaystyle y_{1},\,y_{2},\ldots }$ чисел из множества ${\displaystyle A}$ такие, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\inf A,\,\,\,\lim _{n\to \infty }y_{n}=\sup A}$.

Если точная нижняя грань достигается, то вместо ${\displaystyle \inf A}$ пишут ${\displaystyle \min A}$. Если точная верхняя грань достигается, то вместо ${\displaystyle \sup A}$ пишут ${\displaystyle \max A}$.