Классы Харди

Кла́ссы Ха́рди ${\displaystyle H^{p}}$, ${\displaystyle p>0}$, классы аналитических в круге ${\displaystyle D=\{\mid z\mid <1\}}$ функций ${\displaystyle f(z)}$, для которых

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left\{\int _{T}\mid f(r\xi )\mid ^{p}\,dm(\xi )\right\}^{1/p}<\infty }$ (*),

где ${\displaystyle dm=\mid d\xi \mid /(2\pi )}$ – нормированная мера Лебега на окружности ${\displaystyle T=\{\mid \xi \mid =1\}}$; это равносильно условию существования у субгармонической функции ${\displaystyle \mid f(z)\mid ^{p}}$ гармонической мажоранты в ${\displaystyle D}$. К классам Харди причисляют также класс ${\displaystyle H^{\infty }}$ ограниченных аналитических функций в ${\displaystyle D}$. Введённые Ф. Риссом (^[1]) и названные им в честь Г. Харди, первым рассмотревшего свойства ${\displaystyle p}$-средних в условии ${\displaystyle (*)}$, классы Харди играют важную роль в различных вопросах граничных свойств функций, гармонического анализа, теории степенных рядов, линейных операторов, случайных процессов, экстремальных и аппроксимационных задач.

При любых ${\displaystyle 0<q<p\leqslant \infty }$ справедливы точные вложения ${\displaystyle H^{p}\subset H^{q}\subset N}$, где ${\displaystyle N}$ – класс Неванлинны функций ограниченного вида; в частности, функции классов Харди имеют почти всюду на ${\displaystyle T}$ угловые граничные значения ${\displaystyle f^{*}(\xi )}$, по которым исходные функции ${\displaystyle f(z)}$ в ${\displaystyle D}$ восстанавливаются однозначно. Если ${\displaystyle f(z)\in H^{p}}$, то ${\displaystyle f^{*}(\xi )\in L^{p}(T)}$ [обратное верно не для любой аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$] и

${\displaystyle \lim _{r\rightarrow 1-}\int _{T}\left|f(r\xi )-f^{*}(\xi )\right|^{p}\,dm(\xi )=0}$.

Классы ${\displaystyle H^{p}}$, ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$, – это в точности классы аналитических в ${\displaystyle D}$ функций ${\displaystyle f(z)}$, которые имеют граничные значения ${\displaystyle f^{*}(\xi )\in L^{p}(T)}$ и восстанавливаются по ним посредством интеграла Коши. Функции же, представимые в ${\displaystyle D}$ интегралом типа Коши или Коши – Стилтьеса, принадлежат, вообще говоря, лишь классам ${\displaystyle H^{p}}$, ${\displaystyle p<1}$ (обратное неверно). Однолистные функции в ${\displaystyle D}$ принадлежат всем классам ${\displaystyle H^{p}}$, ${\displaystyle p<1/2}$. Условие ${\displaystyle f^{\prime }(z)\in H^{1}}$ необходимо и достаточно для того, чтобы аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ была непрерывна в ${\displaystyle {\overline {\!D}}}$ и абсолютно непрерывна на ${\displaystyle T}$. Если функция ${\displaystyle f(z)}$ конформно отображает круг ${\displaystyle D}$ на жорданову область ${\displaystyle G}$, то условие ${\displaystyle f^{\prime }(z)\in H^{1}}$ равносильно спрямляемости контура ${\displaystyle \partial G}$ (см. ^[2]; ^[3]).

Существование взаимно однозначного соответствия между функциями классов Харди и их граничными значениями позволяет рассматривать, когда это удобно, функции ${\displaystyle f(z)\in H^{p}}$ как функции на ${\displaystyle T}$, при этом классы ${\displaystyle H^{p}}$ становятся замкнутыми подпространствами банаховых ${\displaystyle (}$полных линейных метрических, если ${\displaystyle p<1)}$ пространств ${\displaystyle L^{p}(T)}$. При ${\displaystyle 0<p<\infty }$ эти подпространства совпадают с замыканиями в ${\displaystyle L^{p}(T)}$ многочленов от ${\displaystyle \xi =e^{it}}$, а при ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$ – с совокупностями тех функций из ${\displaystyle L^{p}(T)}$, коэффициенты Фурье которых равны нулю для отрицательных индексов. Теорема Рисса утверждает, что отображение ${\displaystyle P}$, выражаемое через ряды Фурье равенством

${\displaystyle P\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}e^{int}}$,

является ограниченной проекцией банахова пространства ${\displaystyle L^{p}(T)}$ на ${\displaystyle H^{p}}$ при любом ${\displaystyle 1<p<\infty }$, но не при ${\displaystyle p=1,\infty }$. Отсюда вытекает совпадение действительных пространств ${\displaystyle L_{\mathbb {R} }^{p}(T)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Re} H^{p}}$, ${\displaystyle 1<p<\infty }$; при других же значениях ${\displaystyle p}$ эти пространства существенно различны как по аппроксимативным характеристикам и структуре сопряжённых пространств, так и ${\displaystyle (}$при ${\displaystyle p=1)}$ в отношении свойств коэффициентов Фурье (см. ^[4]; ^[5]).</p<\infty<></math>

Множества нулей ${\displaystyle \left\{z_{k}\right\}}$ нетривиальных функций классов Харди полностью характеризуются условием ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{k}\left(1-\left|z_{k}\right|\right)<\infty }$, обеспечивающим равномерную сходимость внутри ${\displaystyle D}$ канонических произведений Бляшке

${\displaystyle B(z)=z^{n}\prod _{k}{\frac {\left|z_{k}\right|}{z_{k}}}{\frac {z_{k}-z}{1-{\overline {\!z}}_{k}\cdot z}}\in H^{\infty }}$.

Для любой функции ${\displaystyle f(z)\in H^{p}}$, ${\displaystyle f(z)\not \equiv 0}$, ${\displaystyle p>0}$, имеет место факторизация Рисса ${\displaystyle f(z)=B(z)\cdot f_{0}(z)}$, где ${\displaystyle B(z)}$ – произведение Бляшке, построенное по нулям функции ${\displaystyle f(z)}$, а ${\displaystyle f_{0}(z)\in H^{p}}$ и ${\displaystyle f_{0}(z)\neq 0}$ в ${\displaystyle D}$. Функция ${\displaystyle f_{0}(z)}$, в свою очередь, разлагается в произведение ${\displaystyle f_{0}(z)=F(z)\cdot S(z)}$ внешней функции

${\displaystyle F(z)=\exp \left\{\int _{T}{\frac {\xi +z}{\xi -z}}\ln \chi (\xi )\,dm(\xi )+i\alpha \right\},\quad \alpha \in \mathbb {R} }$,

и внутренней сингулярной функции

${\displaystyle S(z)=\exp \left\{-\int _{T}{\frac {\xi +z}{\xi -z}}\,d\mu (\xi )\right\}}$,

где ${\displaystyle \chi (\xi )\geqslant 0}$, ${\displaystyle \ln \chi (\xi )\in L^{1}(T)}$, а ${\displaystyle d\mu }$ – неотрицательная сингулярная мера на ${\displaystyle T}$. Условия

${\displaystyle f(z)\in H^{p},\quad F(z)\in H^{p},\quad \chi (\xi )\in L^{p}(T)}$

равносильны, при этом ${\displaystyle \left|f^{*}(\xi )\right|=\left|F^{*}(\xi )\right|=\chi (\xi )}$ почти всюду на ${\displaystyle T}$. Внутренние функции ${\displaystyle G(z)}$, имеющие вид ${\displaystyle G(z)=B(z)\cdot S(z)}$, полностью характеризуются условиями ${\displaystyle \mid G(z)\mid <1}$ в ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle \left|G^{*}(\xi )\right|=1}$ почти всюду на ${\displaystyle T}$. Часто используют разложение ${\displaystyle f(z)={\sqrt {f_{0}(z)}}\cdot \left({\sqrt {f_{0}(z)}}B(z)\right)}$ произвольной функции ${\displaystyle f(z)\in H^{1}}$ в произведение двух функций из ${\displaystyle H^{2}}$ (см. ^[6]; Duren. 1970).

Класс ${\displaystyle H^{2}}$ занимает особое место среди классов Харди, т. к. является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром и имеет простое описание через коэффициенты Тейлора:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\in H^{2}\Leftrightarrow \left\{a_{n}\right\}\in l^{2}}$.

Важную роль сыграло изучение оператора умножения на ${\displaystyle z}$, или оператора сдвига, в пространстве ${\displaystyle H^{2}}$; оказалось, что все инвариантные подпространства этого оператора порождены внутренними функциями ${\displaystyle G(z)}$, т. е. имеют вид ${\displaystyle G(z)\cdot H^{2}}$ (см. ^[7]).

Относительно поточечного умножения и ${\displaystyle \sup }$-нормы класс ${\displaystyle H^{\infty }}$ является банаховой алгеброй с весьма сложным строением пространства максимальных идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ и границы Шилова (см. Гофман. 1963); вопрос о плотности идеалов ${\displaystyle (z-\xi )\cdot H^{\infty }}$, ${\displaystyle \xi \in D}$, в пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ с обычной топологией Гельфанда (т. н. проблема короны) решён положительно на основе описания универсальных интерполяционных последовательностей – последовательностей ${\displaystyle \left\{z_{n}\right\}}$, ${\displaystyle z_{n}\in D}$, таких, что ${\displaystyle \left\{\left\{f\left(z_{n}\right)\right\}\colon f(z)\in H^{\infty }\right\}=l^{\infty }}$ (см. Duren. 1970).

Классы Харди ${\displaystyle H^{p}(G)}$, ${\displaystyle p>0}$, аналитических функций ${\displaystyle f(z)}$ в областях ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$, отличных от круга, можно определить (в общем случае неэквивалентно) исходя либо из условия существования у функций ${\displaystyle \mid f(z)\mid ^{p}}$ гармонической мажоранты в ${\displaystyle G}$, либо из условия ограниченности интегралов ${\displaystyle \displaystyle \int _{L_{r}}\mid f(z)\mid ^{p}\mid dz\mid }$ по семействам контуров ${\displaystyle \left\{L_{r}\right\}}$, ${\displaystyle L_{r}\subset G}$, в каком-то смысле приближающих границу области ${\displaystyle G}$. Первый способ позволяет определить также классы Харди на римановых поверхностях. Второй способ приводит к классам, лучше приспособленным для решения экстремальных и аппроксимационных задач; в случае жордановых областей ${\displaystyle G}$ со спрямляемой границей последние классы называются классами Смирнова и обозначаются ${\displaystyle E^{p}(G)}$ (см. ^[8]). Для полуплоскости, например ${\displaystyle P=\{\operatorname {Re} z>0\}}$, классы ${\displaystyle H^{p}(P)}$, ${\displaystyle p>0}$, определяемые условием

${\displaystyle \sup _{x>0}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mid f(x+iy)\mid ^{p}dy<\infty }$,

по свойствам близки к классам Харди для круга, однако их приложения в гармоническом анализе связаны уже не с теорией рядов Фурье, а с теорией преобразований Фурье.

Классы Харди аналитических функций ${\displaystyle f(z)=f\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ в единичном шаре ${\displaystyle B^{n}}$ и единичном поликруге ${\displaystyle D^{n}}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ определяются условием ${\displaystyle (*)}$ с заменой окружности ${\displaystyle T}$ соответственно сферой ${\displaystyle \partial B^{n}}$ или остовом ${\displaystyle T^{n}}$ поликруга. Специфика многомерного случая проявляется прежде всего в отсутствии простой характеристики множеств нулей и факторизации функций, соответствующих классам Харди (см. ^[9]; ^[10]). Классы Харди определяются, причём различными способами, и для других областей в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ (см. Rudin 1980).

Многомерными аналогами классов Харди (см. ^[11]) являются т. н. пространства Харди – пространства ${\displaystyle H^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$, ${\displaystyle p>0}$, систем Рисса – действительных вектор-функций ${\displaystyle F(x,y)=\left\{u_{j}(x,y)\right\}_{j=0}^{n}}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle y>0}$, удовлетворяющих обобщённым условиям Коши – Римана

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}=0,\quad {\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}},\quad x_{0}=y}$,

для которых

${\displaystyle \sup _{y>0}\left\{\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mid F(x,y)\mid ^{p}\,dx\right\}^{1/p}<\infty }$.

Определение этих пространств можно дать и в терминах лишь «действительных частей» ${\displaystyle u_{0}(x,y)}$ систем ${\displaystyle F(x,y)}$, потребовав, чтобы функция ${\displaystyle u_{0}(x,y)}$ была гармонической, а её максимальная функция по некасательным путям

${\displaystyle M_{a}u(x)=\sup _{t,\,y}\left\{\mid u_{0}(t,y)\mid :\mid t-x\mid <ay\right\}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad a>0}$.

При ${\displaystyle p>1}$ переход от функции ${\displaystyle u_{0}(x,y)}$ к её граничным значениям даёт отождествление пространств ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ и ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, поэтому интерес представляет лишь случай ${\displaystyle p\leqslant 1}$. Именно в рамках пространств ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ были первоначально установлены такие фундаментальные результаты теории классов Харди, как реализация сопряжённого пространства ${\displaystyle (H^{1})^{*}}$ в виде пространства функций ограниченного среднего колебания (см. ^[12]; Koosis. 1980) и атомическое разложение классов ${\displaystyle H^{p}}$, ${\displaystyle p\leqslant 1}$ (см. Coifman. 1977). Характеристика классов Харди в терминах максимальной функции в ряде случаев требует привлечения вероятностных понятий, связанных с броуновским движением (см. Petersen. 1977).

Абстрактные классы Харди возникают в теории равномерных алгебр и не связаны непосредственно с аналитическими функциями. Фиксируется замкнутая алгебра ${\displaystyle A}$ непрерывных функций на компакте ${\displaystyle X}$ и некоторый гомоморфизм ${\displaystyle \varphi \colon A\to \mathbb {C} }$; существует положительная мера ${\displaystyle d\mu }$ на ${\displaystyle X}$, представляющая ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \varphi (f)=\displaystyle \int _{X}f\cdot \,d\mu ,\quad f\in A}$.

По определению, классы ${\displaystyle H^{p}(d\mu )}$, ${\displaystyle 0<p\leqslant \infty }$, суть замыкания ${\displaystyle (}$слабое замыкание при ${\displaystyle p=\infty )}$ алгебры ${\displaystyle A}$ в пространствах ${\displaystyle L^{p}(d\mu )}$; изучение классов ${\displaystyle H^{p}(d\mu )}$ позволяет получить дополнительную информацию об алгебре ${\displaystyle A}$ (см. ^[13]).