Последовательность

После́довательность, функция, определённая на множестве натуральных чисел. Множество значений последовательности может состоять из элементов любой природы: чисел, точек на плоскости, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n,\ldots }$ Последовательность записывается в виде ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \}}$, ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots \}}$ или кратко ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$. Элементы ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ называются членами последовательности. Примеры последовательностей: последовательность простых чисел; последовательность правильных ${\displaystyle n}$-угольников, вписанных в данную окружность и имеющих одну общую вершину; последовательность отрезков ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ таких, что каждый следующий является левой половиной предыдущего.

По определению, последовательность содержит бесконечное число членов, но множество её значений может быть конечно, например множество значений последовательности ${\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ состоит из двух элементов ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Иногда рассматриваются последовательности, определённые на конечном подмножестве множества натуральных чисел, их называют конечными последовательностями; например, выписанные в порядке возрастания делители числа 12 образуют конечную последовательность ${\displaystyle \{1,2,3,4,6,12\}}$. Последовательность ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle x_{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$ – действительные числа, называется числовой последовательностью.