Интеграл Лебега

Интегра́л Лебе́га, одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть ${\displaystyle (X,\mu )}$ – пространство с неотрицательной полной счётно-аддитивной мерой ${\displaystyle \mu }$, причём ${\displaystyle \mu X<+\infty }$. Простой функцией называется измеримая функция ${\displaystyle g:X\rightarrow \mathbb {R} ^{1}}$, принимающая не более счётного множества значений: ${\displaystyle g(x)=y_{n}}$, ${\displaystyle y_{n}\neq y_{k}}$ при ${\displaystyle n\neq k}$, если ${\displaystyle x\in X_{n}}$, и ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}=X}$. Простая функция ${\displaystyle g}$ называется суммируемой, если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }y_{n}\mu X_{n}}$ сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега ${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu }$.

Функция ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{1}}$ суммируема на ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f\in L(X,\mu )}$, если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к ${\displaystyle f}$ последовательность простых суммируемых функций ${\displaystyle g_{n}}$ и предел

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{X}g_{n}\,d\mu =I}$

конечен. Число ${\displaystyle I}$ есть интеграл Лебега ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$.

Определение корректно: предел ${\displaystyle I}$ существует и не зависит от выбора последовательности ${\displaystyle g_{n}}$. Если ${\displaystyle f\in L(X,\mu )}$, то ${\displaystyle f}$ – измеримая почти всюду конечная функция на ${\displaystyle X}$. Интеграл Лебега есть линейный неотрицательный функционал на ${\displaystyle L(X,\mu )}$, обладающий следующими свойствами:

1) если ${\displaystyle f(x)\in L(X,\mu )}$ и

${\displaystyle \mu \{x\in X\mid f(x)\neq h(x)\}=0,}$

то ${\displaystyle h(x)\in L(X,\mu )}$ и

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}h\,d\mu }$;

2) если ${\displaystyle f\in L(X,\mu )}$, то ${\displaystyle |f|\in L(X,\mu )}$ и

${\displaystyle \left|\int _{X}f\,d\mu \right|\leqslant \int _{X}|f|\,d\mu }$;

3) если ${\displaystyle f\in L(X,\mu )}$, ${\displaystyle |h|\leqslant f}$ и ${\displaystyle h}$ измерима, то ${\displaystyle h\in L(X,\mu )}$ и

${\displaystyle \left|\int _{X}h\,d\mu \right|\leqslant \int _{X}f\,d\mu }$;

4) если ${\displaystyle m\leqslant f\leqslant M}$ и ${\displaystyle f}$ измерима, то ${\displaystyle f\in L(X,\mu )}$ и

${\displaystyle m\mu X\leqslant \int _{X}f\,d\mu \leqslant M\mu X}$.

В случае, когда ${\displaystyle \mu X=+\infty }$ и ${\displaystyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}}$, ${\displaystyle \mu X_{n}<+\infty }$, интеграл Лебега ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$ определяется как

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{E_{n}}f\,d\mu }$

при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности ${\displaystyle E_{n}}$, такой, что ${\displaystyle \mu E_{n}<+\infty }$, ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$, ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=X}$. В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается.

Для перехода к пределу под знаком интеграла Лебега справедлива теорема Лебега.

Если ${\displaystyle A}$ есть измеримое подмножество в ${\displaystyle X}$, то интеграл Лебега ${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu }$ определяется или, как указано выше, заменой ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle A}$, или как

${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{X}f\chi _{A}\,d\mu ,}$

где ${\displaystyle \chi _{A}}$ – характеристическая функция множества ${\displaystyle A}$; эти определения эквивалентны. Если ${\displaystyle f\in L(A,\mu )}$, то ${\displaystyle f\in L\left(A^{\prime },\mu \right)}$ для любого измеримого множества ${\displaystyle A^{\prime }\subset A}$. Если ${\displaystyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$, множество ${\displaystyle A_{n}}$ измеримо для каждого ${\displaystyle n}$, причём ${\displaystyle A_{n}\cap A_{k}=\varnothing }$ для ${\displaystyle n\neq k}$ и ${\displaystyle f\in L(A,\mu )}$, то

${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{A_{n}}f\,d\mu }$.

Обратно, если при тех же условиях на ${\displaystyle A_{n}}$ для каждого ${\displaystyle n}$ верно, что ${\displaystyle f\in L\left(A_{n},\mu \right)}$ и

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\int _{A_{n}}|f|\,d\mu <+\infty ,}$

то ${\displaystyle f\in L(A,\mu )}$ и выполнено предыдущее равенство (${\displaystyle \sigma }$-аддитивность интеграла Лебега).

Функция множества ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle F(A)=\int _{A}f\,d\mu }$

абсолютно непрерывна относительно ${\displaystyle \mu }$; если ${\displaystyle f\geqslant 0}$, то ${\displaystyle F(A)}$ есть неотрицательная абсолютно непрерывная относительно ${\displaystyle \mu }$ мера. Обратное утверждение представляет собой теорему Радона – Никодима.

Для функций ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}}$ название «интеграл Лебега» применяется к соответствующему функционалу, если мера ${\displaystyle \mu }$ есть мера Лебега; при этом множество суммируемых функций обозначается просто ${\displaystyle L(X)}$, а интеграл – ${\displaystyle \int _{X}f(x)\,dx}$. Для других мер этот функционал называется интегралом Лебега – Стилтьеса.

Если ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}}$, ${\displaystyle f\in L[a,b]}$ и ${\displaystyle x:[\alpha ,\beta ]\rightarrow [a,b]}$ – неубывающая абсолютно непрерывная функция, то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(x(t))x^{\prime }(t)\,dt}$.

Если ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}}$, ${\displaystyle f\in L[a,b]}$ и ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{1}}$ монотонна на ${\displaystyle [a,b]}$, то ${\displaystyle fg\in L[a,b]}$ и существует точка ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ такая, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{\xi }f(x)\,dx+g(b)\int _{\xi }^{b}f(x)\,dx}$

(вторая теорема o среднем).

В 1902 г. A. Лебег (1934) дал определение интеграла для ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{1}}$ и меры ${\displaystyle \mu }$, являющейся мерой Лебега. Он строил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной меры ${\displaystyle E}$ измеримую неотрицательную функцию ${\displaystyle f:E\rightarrow R^{\mathbf {1} }}$, и доказал существование общего предела (конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к ${\displaystyle f}$. Интеграл Лебега является базой для различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин (1951), свойство 2) – так называемая абсолютная интегрируемость – выделяет интеграл Лебега для ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{1}}$ из всевозможных обобщённых интегралов.