Нормированное пространство

Норми́рованное простра́нство, векторное пространство ${\displaystyle X}$, наделённое нормой ${\displaystyle }$
${\displaystyle midx}$
${\displaystyle mid}$, ${\displaystyle x\in X}$. Норма индуцирует на ${\displaystyle X}$ метрику ${\displaystyle \rho (x,y)=}$
${\displaystyle midx-y}$
${\displaystyle mid}$ и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство является гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle }$
${\displaystyle midx+y}$
${\displaystyle mid^{2}+}$
${\displaystyle midx-y}$
${\displaystyle mid^{2}=2}$
${\displaystyle midx}$
${\displaystyle mid^{2}+2}$
${\displaystyle midy}$
${\displaystyle mid^{2}}$ для всех ${\displaystyle x,y\in X}$.

Нормируемость топологического векторного пространства равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля (теорема Колмогорова).