Векторное пространство

Ве́кторное простра́нство (линейное пространство), одно из фундаментальных понятий алгебры, обобщающее понятие совокупности (свободных) векторов. В векторном пространстве вместо векторов рассматриваются любые объекты, которые можно складывать и умножать на числа; при этом требуется, чтобы основные алгебраические свойства этих операций были такими же, как и для векторов в элементарной геометрии. В точном определении числа заменяются элементами любого поля ${\displaystyle K}$. Векторным пространством над полем ${\displaystyle K}$ называется множество ${\displaystyle V}$ с операцией сложения элементов из ${\displaystyle V}$ и операцией умножения элементов из ${\displaystyle V}$ на элементы из поля ${\displaystyle K}$, которые обладают следующими свойствами:

1. ${\displaystyle x+y=y+x}$ для любых ${\displaystyle x,y}$ из ${\displaystyle V}$, т. е. относительно сложения ${\displaystyle V}$ является абелевой группой.
2. ${\displaystyle \lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y}$ для любых ${\displaystyle \lambda }$ из ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle x,y}$ из ${\displaystyle V}$.
3. ${\displaystyle (\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x}$ для любых ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ из ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle V}$.
4. ${\displaystyle (\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)}$ для любых ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ из ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle V}$.
5. ${\displaystyle 1x=x}$ для любого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle V}$, здесь ${\displaystyle 1}$ означает единицу поля ${\displaystyle K}$.

Примерами векторных пространств являются: множества ${\displaystyle L^{1},L^{2}}$ и ${\displaystyle L^{3}}$ всех векторов из элементарной геометрии, соответственно на прямой, плоскости и в пространстве с обычными операциями сложения векторов и умножения на число; координатное векторное пространство ${\displaystyle K^{n}}$, элементами которого являются всевозможные строки (векторы) длины ${\displaystyle n}$ с элементами из поля ${\displaystyle K}$, а операции заданы формулами

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n}),}$
${\displaystyle lambda(a_{1},\ldots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\ldots ,\lambda a_{n});}$

множество ${\displaystyle F(M,K)}$ всех функций, определённых на фиксированном множестве ${\displaystyle M}$ и принимающих значения в поле ${\displaystyle K}$, с обычными операциями над функциями:

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, ${\displaystyle (\lambda f)(x)=\lambda f(x)}$.

Элементы векторного пространства ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ называются линейно независимыми, если из равенства ${\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\ldots +\lambda _{n}e_{n}=0\in V}$ следует, что все ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}=0\in K}$. В противном случае элементы ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ называются линейно зависимыми. Если в векторном пространстве ${\displaystyle V}$ любые ${\displaystyle n+1}$ элементов ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n+1}}$ линейно зависимы и существует ${\displaystyle n}$ линейно независимых элементов, то ${\displaystyle V}$ называется ${\displaystyle n}$-мерным векторным пространством, а ${\displaystyle n}$ – размерностью векторного пространства ${\displaystyle V}$. Если в векторном пространстве ${\displaystyle V}$ для любого натурального ${\displaystyle n}$ существует ${\displaystyle n}$ линейно независимых векторов, то ${\displaystyle V}$ называется бесконечномерным векторным пространством. Например, векторные пространства ${\displaystyle L^{1},L^{2},L^{3}}$ и ${\displaystyle K^{n}}$ соответственно 1-, 2-, 3- и ${\displaystyle n}$-мерны; если ${\displaystyle M}$ – бесконечное множество, то векторное пространство ${\displaystyle F(M,K)}$ бесконечномерно.

Векторные пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle U}$ над полем ${\displaystyle K}$ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение ${\displaystyle \varphi :V\to U}$ такое, что ${\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)}$ для любых ${\displaystyle x,y}$ из ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle \varphi (\lambda x)=\lambda \varphi (x)}$ для любых ${\displaystyle \lambda }$ из ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle V}$. Изоморфные векторные пространства являются алгебраически неразличимыми. Классификация конечномерных векторных пространств с точностью до изоморфности даётся их размерностью: любое ${\displaystyle n}$-мерное векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ изоморфно координатному векторному пространству ${\displaystyle K^{n}}$. См. также Гильбертово пространство, Линейная алгебра.