Тео́рия приближе́ния (теория аппроксимации), раздел математического анализа, изучающий методы приближения одних математических объектов другими и вопросы, связанные с исследованием и оценкой возникающей при этом погрешности.

Основное содержание теории приближения относится к приближению функций. Фундамент теории приближения был заложен работами П. Л. Чебышёва (1854–1859) о наилучшем равномерном приближении функций многочленами и К. Вейерштрасca, установившего в 1885 г. принципиальную возможность приблизить непрерывную на конечном отрезке функцию алгебраическими многочленами со сколь угодно малой наперёд заданной погрешностью. Развитие теории приближения в значительной степени определялось основополагающими работами А. Л. Лебега, Ш.-Ж. де La Валле Пуссена, С. Н. Бернштейна, Д. Джексона, Ж. Фавара, А. Н. Колмогорова, С. М. Никольского о приближении функций и классов функций.

С развитием функционального анализа многие вопросы теории приближения стали рассматривать в самой общей ситуации, например как приближение элементов произвольного линейного нормированного пространства $X$. При этом выделяют три круга задач, которые в определённой степени соответствуют и основным хронологическим этапам развития исследований в теории приближения.

1. Приближение фиксированного элемента $x \in X$ элементами фиксированного множества $\mathfrak{R} \subset X$. Если в качестве меры приближения взять величину

$$E(x, \mathfrak{R})=\inf _{u \in \mathfrak{R}}\|x-u\|,$$т. е. наилучшее приближение $x$ множеством $\mathfrak{R}$, то, помимо исследования и оценки $E(x, \mathfrak{R})$, возникают вопросы о существовании элемента наилучшего приближения $u_0$ из $\mathfrak{R}$ [для которого $\left\|x-u_0\right\|=E(x, \mathfrak{R})$], его единственности и характеристических свойствах. Любой оператор $A$, отображающий $X$ в $\mathfrak{R}$, задаёт некоторый метод приближения с погрешностью $\|x- A x\|$. Если $\mathfrak{R}$ – линейное многообразие, то особое значение имеют линейные операторы. Для последовательности $\left\{A_n\right\}$ таких операторов возникает задача об условиях сходимости $A_n x \rightarrow x$ для любого $x \in X$.

2. Приближение фиксированного множества $\mathfrak{M} \subset X$ элементами другого фиксированного множества $\mathfrak{R}$ из $X$. Наилучшее приближение в этом случае выражается величиной

$$E(\mathfrak{M}, \mathfrak{R})=\sup _{x \in \mathfrak{M}} E(x, \mathfrak{R}),$$которая даёт минимально возможную оценку погрешности приближения любого элемента $x \in X$ элементами из $\mathfrak{R}$. В конкретных случаях задача состоит в том, чтобы оценить или точно выразить $E(\mathfrak{M}, \mathfrak{R})$ через характеристики, задающие множества $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$. Если приближение осуществляется с помощью оператора $A$, то исследуется верхняя грань

$$\sup _{x \in \mathfrak{M}}\|x-A x\|,$$а также (если $\mathfrak{R}$ – линейное многообразие) величина

$$\mathscr{E}(\mathfrak{M}, \mathfrak{R})=\inf _{A X \subset \mathfrak{R}} \sup _{x \in \mathfrak{M}}\|x-A x\|,$$где нижняя грань распространена на все линейные операторы, отображающие $X$ в $\mathfrak{R}$. Линейный оператор, реализующий эту нижнюю грань (если он существует), определяет наилучший линейный метод приближения. Особый интерес представляет выяснение случаев, когда $\mathscr{E}(\mathfrak{M}, \mathfrak{R})=E(\mathfrak{M}, \mathfrak{R})$.

3. Наилучшее приближение фиксированного множества $\mathfrak{M} \subset X$ заданным классом $\{\mathfrak{R}\}$ aппроксимирующих множеств из $X$. Предполагается, что в класс $\mathfrak{R}$ входят в каком-то смысле «равноценные» множества, например содержащие одно и то же количество элементов или имеющие одну и ту же размерность. Первый случай приводит к задаче об $\varepsilon$-энтропии множества $\mathfrak{M}$ (относительно $X$), второй – к задачам вычисления поперечников множества $\mathfrak{M}$ (в пространстве $X$), в частности величин

$$d_{N^{\prime}}(\mathfrak{M}, X)=\inf _{\mathfrak{R}_N} E\left(\mathfrak{M}, \mathfrak{R}_N\right) \tag{1}$$и

$$d^{\prime}_N(\mathfrak{M}, X)=\inf _{\mathfrak{R}_N} \mathscr{E}\left(\mathfrak{M}, \mathfrak{R}_N\right), \tag{2}$$где нижние грани берутся по всем подпространствам $\mathfrak{R}_N$ из $X$ фиксированной размерности $N$ (или по всевозможным их сдвигам $\mathfrak{R}_N+a$). Таким образом, в задачах (1)–(2) речь идёт об отыскании наилучшего (соответственно наилучшего линейного) аппарата приближения размерности $N$ для множества $\mathfrak{M}$.