Термины

Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са, , переводящее функцию f(t)f(t) действительного переменного tt, называемую оригиналом, в функцию

f(p)=L[f]=0f(t)eptdt(1)f(p)=L[f]=\int\limits_0^\infty f(t)e^{-pt}dt\tag{1}комплексного переменного p=σ+iτp= \sigma + i \tau, называемую изображением. Под преобразованием Лапласа понимают не только само преобразование, но и его результат – функцию F(p)F(p). Интеграл в правой части (1) называют интегралом Лапласа. Он был рассмотрен в ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Ранее такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений (1737).

При некоторых условиях по преобразованию Лапласа можно однозначно восстановить функцию f(t)f(t), в простейших случаях – по формуле обращения

f(t)=12πiiiF(p)eptdp.(2) f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-i \infty}^{i \infty}F(p)e^{pt}dp. \tag{2}Преобразование Лапласа является линейным функциональным преобразованием. К основным свойствам преобразования Лапласа относятся равенства

L[f]=pF(p)f(0),(3)L[f']=pF(p)-f(0),\tag{3}

L[tnf(t)]=(1)nF(n)(p), n=1,2,...,L[t^nf(t)]=(–1)^nF^{(n)}(p),\text{ } n=1,2,...,

L[0tf(u)du]=F(p)p, t>0.\displaystyle L \Big[\int\limits_0^tf(u)du \Big]=\frac{F(p)}{p},\text{ }t>0.Преобразование Лапласа в сочетании с формулой обращения (2) применяется при решении . Так, в силу линейности отображения (1) и свойства (3) преобразование Лапласа решения обыкновенного с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению первого порядка и может быть легко найдено. Например, если дано уравнение y+y=f(t)y″+y=f(t) c начальными условиями y(0)=y(0)=0y(0)=y′(0)=0 и Y(p)=L[y], F(p)=L[f]Y(p)=L[y], \text{ } F(p)=L[f], тоL[y]=p2Y(p) L[y″]=p^2Y(p) и p2Y(p)+Y(p)=F(p)p^2Y(p)+Y(p)=F(p), что приводит к равенству Y(p)=F(p)/(p2+1)Y(p)=F(p)/(p^2+1).

Современная общая теория преобразования Лапласа строится на основе интегрирования по Лебегу. Для применимости преобразования Лапласа к функции f(t)f(t) необходимо, чтобы f(t)f(t) была интегрируема по на любом конечном интервале (0,t), t>0(0, t),\text{ } t>0, и интеграл (1) сходился хотя бы в одной точке p0=σ0+iτ0.p_0=σ_0+iτ_0. Если интеграл (1) сходится в точке p0p_0, то он сходится во всех точках pp, для которых Rep>Rep0\text{Re}\, p>\text{Re}\, p_0. Если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p0p_0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число σcσ_c, что при Rep>σc\text{Re}\, p>σ_c интеграл (1) сходится, а при Rep<σc\text{Re}\, p<σ_c расходится. Число σcσ_c называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа, F(p)F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Rep>σc\text{Re}\, p>σ_c.

С использованием преобразования Лапласа решаются многие задачи электротехники, , , . Преобразование Лапласа нашло широкое применение в .

Редакция математических наук
  • Функциональное преобразование