Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са, преобразование, переводящее функцию $f(t)$ действительного переменного $t$, называемую оригиналом, в функцию

$$f(p)=L[f]=\int\limits_0^\infty f(t)e^{-pt}dt\tag{1}$$комплексного переменного $p= \sigma + i \tau$, называемую изображением. Под преобразованием Лапласа понимают не только само преобразование, но и его результат – функцию $F(p)$. Интеграл в правой части (1) называют интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П.-С. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Ранее такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер (1737).

При некоторых условиях по преобразованию Лапласа можно однозначно восстановить функцию $f(t)$, в простейших случаях – по формуле обращения

$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-i \infty}^{i \infty}F(p)e^{pt}dp. \tag{2}$$Преобразование Лапласа является линейным функциональным преобразованием. К основным свойствам преобразования Лапласа относятся равенства

$$L[f']=pF(p)-f(0),\tag{3}$$

$L[t^nf(t)]=(–1)^nF^{(n)}(p),\text{ } n=1,2,...,$

$\displaystyle L \Big[\int\limits_0^tf(u)du \Big]=\frac{F(p)}{p},\text{ }t>0.$Преобразование Лапласа в сочетании с формулой обращения (2) применяется при решении дифференциальных уравнений. Так, в силу линейности отображения (1) и свойства (3) преобразование Лапласа решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению первого порядка и может быть легко найдено. Например, если дано уравнение $y″+y=f(t)$ c начальными условиями $y(0)=y′(0)=0$ и $Y(p)=L[y], \text{ } F(p)=L[f]$, то$L[y″]=p^2Y(p)$ и $p^2Y(p)+Y(p)=F(p)$, что приводит к равенству $Y(p)=F(p)/(p^2+1)$.

Современная общая теория преобразования Лапласа строится на основе интегрирования по Лебегу. Для применимости преобразования Лапласа к функции $f(t)$ необходимо, чтобы $f(t)$ была интегрируема по Лебегу на любом конечном интервале $(0, t),\text{ } t>0$, и интеграл (1) сходился хотя бы в одной точке $p_0=σ_0+iτ_0.$ Если интеграл (1) сходится в точке $p_0$, то он сходится во всех точках $p$, для которых $\text{Re}\, p>\text{Re}\, p_0$. Если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости $p_0$, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число $σ_c$, что при $\text{Re}\, p>σ_c$ интеграл (1) сходится, а при $\text{Re}\, p<σ_c$ расходится. Число $σ_c$ называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа, $F(p)$ является аналитической функцией в полуплоскости $\text{Re}\, p>σ_c$.

С использованием преобразования Лапласа решаются многие задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности. Преобразование Лапласа нашло широкое применение в операционном исчислении.