Нея́вная фу́нкция, функция $f: E \rightarrow Y$, заданная уравнением $F(x, y)=z_0$, где $F: X \times Y \rightarrow Z$, $x \in X$, $y \in Y$, $E \subset X$, $X$, $Y$ и $Z$ – некоторые множества, т. е. такая функция $f$, что при любом $x \in E$ имеет место $F(x, f(x))=z_0$. Если $X$, $Y$ и $Z$ – топологические пространства и для некоторой точки $\left(x_0, y_0\right) \in X \times Y$ выполняется условие $F\left(x_0, y_0\right)=z_0$, то при определённых условиях в некоторой окрестности точки $\left(x_0, y_0\right)$ уравнение $F(x, y)=z_0$ однозначно разрешимо относительно одной из переменных. Свойства решения этого уравнения описываются теоремами о неявной функции.

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем. Пусть $X$ и $Y$ – подмножества числовой прямой $\mathbb{R}$, $x_0 \in X$, $y_0 \in Y$, $\left(x_0, y_0\right)$ – внутренняя точка множества $X \times Y$ на плоскости; тогда если функция $F$ непрерывна в некоторой окрестности точки $\left(x_0, y_0\right)$, $F\left(x_0, y_0\right)=0$ и существуют такие $\delta>0$ и $\varepsilon>0$, что при любом фиксированном $x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ функция $F(x, y)$ как функция переменного $y$ строго монотонна на интервале $\left(y_0-\varepsilon, y_0+\varepsilon\right)$, то найдётся такое $\delta_0>0$, что существует и притом единственная функция$$f:\left(x_0-\delta_0, x_0+\delta_0\right) \longrightarrow\left(y_0-\varepsilon, y_0+\varepsilon\right)$$такая, что $F(x, f(x))=0$ для всех $x \in\left(x_0-\delta_0, x_0+\delta_0\right)$, причём функция $f(x)$ непрерывна и $f\left(x_0\right)=y_0$. Условия этой теоремы выполняются, если функция $F(x, y)$ непрерывна в окрестности точки $\left(x_0, y_0\right)$, существует частная производная $F_y$, непрерывная в точке $\left(x_0, y_0\right)$, $F\left(x_0, y_0\right)=0$, а $F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$. Если, кроме того, существует и частная производная $F_x$, также непрерывная в точке $\left(x_0, y_0\right)$, то неявная функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, причём$$\frac{d f\left(x_0\right)}{d x}=-\frac{F x\left(x_0, y_0\right)}{F y\left(x_0, y_0\right)}.$$Эта теорема обобщается на случай системы уравнений, т. е. когда $F$ является векторной функцией. Пусть $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$ суть $n$- и $m$-мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ и $y=\left(y_1, \ldots, y_m\right)$. Пусть $F$ отображает некоторую окрестность $W$ точки $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$, $x_0 \in \mathbb{R}^n$, $y_0 \in \mathbb{R}^m$, в пространство $\mathbb{R}^m$ и $F_i$, $i=1,2, \ldots, m$, – координатные функции (oт $n+m$ переменных $x_1, \ldots, x_n$, $y_1, \ldots, y_m$) отображения $F$, т. е. $F=\left(F_1, \ldots, F_m\right)$. Если отображение $F$ дифференцируемо на $W$, $F\left(x_0, y_0\right)=0$, а якобиан$$\left.\frac{\partial\left(F_1, \ldots, F_m\right)}{\partial\left(y_1, \ldots, y_m\right)}\right|_{\left(x_0, y_0\right)} \neq 0,$$то существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_0$ и $y_0$ соответственно в пространствах $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$, $U \times V \subset W$ и единственное отображение $f: U \rightarrow V$ такие, что для всех $x \in U$ выполняется условие $F(x, f(x))=0 \in \mathbb{R}^m$. При этом $f\left(x_0\right)=y_0$, отображение $f$ дифференцируемо на $U$, a если $f=\left(f_1, \ldots, f_m\right)$, то явное выражение для частных производных $\partial f_j / \partial x_i$, $i=1,2, \ldots, n$, $j=1,2, \ldots, m$, находится из системы $m$ линейных относительно этих производных уравнений$$\frac{\partial F_k}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^m \frac{\partial F_k}{\partial y_j} \frac{\partial f_j}{\partial x_i}=0,$$$k=1,2, \ldots, m$, $i$ фиксировано $(i=1,2, \ldots, n)$. Иногда основное утверждение теоремы формулируется следующим образом: существуют окрестности $U$ п $W_0$ точек $x_0$ и $\left(x_0, y_0\right)$ в пространствах $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$, $W_0 \subset W$, и единственное отображение $f: U \rightarrow \mathbb{R}^m$ такие, что для всех $x \in U$ выполняются условия $(x, f(x)) \in W_0$, $F(x, f(x))=0$. Иначе говоря, условия$$(x, y) \in W_0, \quad F(x, y)=0$$равносильны условиям $x \in U$, $y=f(x)$. В этом случае говорят, что уравнение $F(x, y)=0$ однозначно разрешимо в окрестности $W_0$ точки $\left(x_0, y_0\right)$.

Сформулированная классическая теорема о неявной функции обобщается на случай более общих пространств следующим образом. Пусть $X$ – топологическое пространство, $Y$ и $Z$ аффинные нормированные пространства над полем действительных или комплексных чисел, т. е. аффинные пространства над указанными полями, которым сопоставлены соответственно нормированные векторные пространства $\boldsymbol{Y}$ и $\boldsymbol{Z}$, причём $\boldsymbol{Y}$ – полное пространство, $\mathscr{L}(\boldsymbol{Y},\boldsymbol{Z})$ – множество линейных непрерывных отображений пространства $\boldsymbol{Y}$ в пространство $\boldsymbol{Z}$, $W$ – открытое множество в произведении пространств $X \times Y$ и $\left(x_0, y_0\right) \in W$, $x_0 \in X$, $y_0 \in Y$.

Пусть $F: W \rightarrow Z$ – непрерывное отображение $W$ в $Z$ и $F\left(x_0, y_0\right)=z_0$. Если при каждом фиксированном $x$ и $(x, y) \subset W$ отображение $F$ имеет частную производную Фреше $F_y \in \mathscr{L}(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})$, причём $F_y(x, y): W \rightarrow \mathscr{L}(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})$ является непрерывным отображением $W$ в $\mathscr{L}(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})$, а линейное отображение $F_y\left(x_0, y_0\right): \boldsymbol{Y} \rightarrow \boldsymbol{Z}$ имеет непрерывное обратное линейное отображение (т. е. является обратимым элементом пространства $\mathscr{L}(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})$), то существуют такие открытые соответственно в пространствах $X$ и $Y$ множества $U \subset X$ и $V \subset Y$, $x_0 \in U$, $y_0 \in V$, что для любого $x \in U$ существует и притом единственный элемент $y \in V$, обозначаемый $y=f(x)$ и удовлетворяющий условиям:$$f(x) \in V\quad \text { и } \quad F(x, f(x))=z_0.$$При этом так определённая функция $y=f(x)$ является непрерывным отображением $U$ в $V$ и $y_0=f\left(x_0\right)$.

Если $X$ также является аффинным нормированным пространством, то при определённых условиях неявная функция $f: x \mapsto y$, удовлетворяющая уравнению$$\tag{1}F(x, y)=z_0,$$также дифференцируема. Именно, пусть $X$, $Y$, $Z$ – аффинные нормированные пространства, $W$ – открытое множество из $X \times Y$, $F: W \rightarrow Z$, $F\left(x_0, y_0\right)=z_0$, $x_0 \in X$, $y_0 \in Y$, и пусть $f$ – неявное отображение, задаваемое уравнением (1) и отображающее некоторую окрестность $U$ точки $x_0$ в открытое подмножество $V$ пространства $Y$, $U \times V \in W$. Таким образом, для всех $x \in U$ имеет место$$\tag{2}f(x) \in V, \quad F(x, f(x))=z_0.$$Пусть, кроме того, отображение $f$ непрерывно в точке $x_0$ и $f\left(x_0\right)=y_0$. Тогда если отображение $F$ дифференцируемо в точке $\left(x_0, y_0\right)$ и его частные производные Фреше $F_x\left(x_0, y_0\right)$ и $F_y\left(x_0, y_0\right)$ являются линейными непрерывными операторами, отображающими соответственно векторные пространства $\boldsymbol{X}$ и $\boldsymbol{Y}$, сопоставленные аффинным пространствам $X$ и $Y$, в векторное пространство $\boldsymbol{Z}$, сопоставленное аффинному пространству $Z$, причём оператор $F_y\left(x_0, y_0\right)$ является обратимым элементом пространства $\mathscr{L}(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})$, то отображение $f$ дифференцируемо в точке $x_0$ и его производная Фреше задаётся формулой$$f^{\prime}\left(x_0\right)=-F_y^{-1}\left(x_0, y_0\right) \circ F_x\left(x_0, y_0\right).$$Эта формула получается в результате формального дифференцирования функции (2):$$F_x\left(x_0, y_0\right)+F_y\left(x_0, y_0\right) \circ f^{\prime}\left(x_0\right)=0 \in \mathscr{L}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$$и умножения слева этого равенства на $F_y^{-1}\left(x_0, y_0\right)$.

Если, кроме того, отображение $F: W \rightarrow Z$ непрерывно дифференцируемо на $W$, неявная функция $f: U \rightarrow V$ непрерывна на $U$, $U \times V \subset W$ и для любого $x \in U$ частная производная Фреше $F_y(x, f(x))$ является обратимым элементом пространства $\mathscr{L}(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})$, то отображение $f$ – непрерывно дифференцируемое отображение $U$ в $V$.

Можно указать и в общем случае условия существования и единственности неявной функции в терминах непрерывности производной Фреше: если пространство $Z$ полно, отображение $F: W \rightarrow Z$ непрерывно дифференцируемо на $W$, $F\left(x_0, y_0\right)=z_0$ и частная производная Фреше $F_y\left(x_0, y_0\right)$ является обратимым элементом пространства $\mathscr{L}(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})$, то уравнение (1) однозначно разрешимо в достаточно малой окрестности точки $\left(x_0, y_0\right)$, т. е. существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_0$ и $y_0$ соответственно в пространствах $X$ и $Y$, $U \times V \subset W$ и единственная неявная функция $f: U \rightarrow V$, удовлетворяющая условиям (2). При этом отображение $f$ непрерывно дифференцируемо на $U$. В таком виде теорема о неявной функции для нормированных пространств представляет собой прямое обобщение соответствующей классической теоремы о неявной функции для одного скалярного уравнения с двумя переменными.

Если, кроме того, функция $F: W \rightarrow Z$ непрерывно дифференцируема в окрестности $W$ точки $\left(x_0, y_0\right) k$ раз $(k= 1,2, \ldots)$, то неявная функция $f: U \rightarrow V$ также $k$ раз непрерывно дифференцируема.

Более далёкие обобщения классической теоремы о неявной функции на случай дифференциальных операторов даны Дж. Нэшем (J. Nash) (см. Теорема Нэша).