Произво́дная Фреше́, сильная производная, наиболее распространённая (наряду с производной Гато, называемой иногда слабой производной) производная функционала или отображения. Производной Фреше в точке $x_{0}$ отображения $f:X\rightarrow Y$ нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$ называют линейный непрерывный оператор $\Lambda:X\rightarrow Y$, удовлетворяющий условию$$f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+{\Lambda} h+\varepsilon(h),$$где$$\lim _{\|h\| \rightarrow 0}\|\varepsilon(h)\| /\|h\|=0.$$Оператор $\Lambda$, удовлетворяющий этим условиям, единствен и обозначается $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$, линейное отображение $h \rightarrow f^{\prime}\left(x_{0}\right) h$ называется дифференциалом Фреше. Если отображение $f$ имеет в точке $x_{0}$ производную Фреше, оно называется дифференцируемым по Фреше. Для производной Фреше выполнены важнейшие теоремы дифференциального исчисления – о дифференцировании сложной функции, o среднем. Если функция $f$ непрерывно дифференцируема по Фреше в окрестности точки $x_{0}$ и в точке $x_{0}$ производная Фреше $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ является гомеоморфизмом банаховых пространств $X$ и $Y$, то имеет место теорема об обратном отображении.