Истори́ческая декомпози́ция (англ. historical decomposition), способ представления динамики временны́х рядов через вклады структурных шоков и экзогенных факторов на основе оценённой модели векторной авторегрессии (VAR). Историческая декомпозиция позволяет наглядно проиллюстрировать вклад конкретных исторических событий в динамику экономических переменных на основе идентификации структурных шоков этих переменных. Например, центральным банкам и правительству может быть интересен вклад в динамику макроэкономических переменных шоков монетарной и фискальной политики, внутренних или внешних шоков, последствия которых они могли бы сгладить (Власов. 2018; Disentangling loan demand ... 2015; Jovičić. 2017; Redl. 2017). Если на состояние экономики оказывают влияние колебания мировых цен на сырьевых рынках, то полезным при проведении экономической политики будет понимание количественного вклада источников этих колебаний, поскольку они могут приводить к экономическому спаду в периоды кризисов и нестабильности на самих сырьевых рынках (Ломоносов. 2021; Kilian. 2014).

Методология

Рассмотрим модель векторной авторегрессии VARX(1) в которой $n$ эндогенных переменных и $m$ экзогенных переменных:

$y_t=Ay_{t-1}+Bx_t+ \varepsilon _t \\ y_t= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}y_{ 1,t }\\ y_{ 2,t }\end{array} \\ \vdots \end{array} \\y_{ n,t }\end{array}\right) , \ A= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}a_{11} \ \cdots \ a_{1n} \\ \vdots \ \ \ \ddots \ \ \ \vdots \end{array} \\ a_{n1} \ \cdots \ a_{nn} \end{array}\right) , \ B=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}b_{11} \ \cdots \ b_{1m} \\ \vdots \ \ \ \ddots \ \ \ \vdots \end{array} \\ b_{n1} \ \cdots \ b_{nm} \end{array}\right) , \\ x_t=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} x_{1,t} \\ x_{2,t} \end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ x_{m,t}\end{array} \end{array}\right), \ \varepsilon _t= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \varepsilon_{1,t} \\ \varepsilon_{2,t} \end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ \varepsilon_{n,t}\end{array} \end{array}\right) ,$

где $y_t$ – вектор эндогенных переменных в период $t$, $x_t$ – вектор экзогенных переменных (куда входит константа), $A$ – матрица коэффициентов перед лагом эндогенных переменных, $B$ – матрица коэффициентов перед экзогенными переменными, $\varepsilon _t$ – ошибки.

Подставим вместо $y_{t-1}$ записанное ранее равенство:

$y_t=A(Ay_{t-2}+Bx_{t-1}+ \varepsilon _{t-1})+Bx_t+ \varepsilon _t=A^2y_{t-2}+Bx_t+ABx_{t-1}+ \varepsilon _t+A \varepsilon _{t-1},$

При продолжении рекурсивной записи можно получить выражение:

$y_t=A^ty_0+ \sum_{i=0}^{t-1} A^iBx_{t-i}+\sum_{i=0}^{t-1} A^i \varepsilon _{t-i}.$

Для работы со структурными (некоррелированными) шоками представим ошибки в виде $\varepsilon _t=A^{-1}_0u_t$, где $A_0$ – структурная матрица, размерностью $n \times n$, $u_t$ – фундаментальные шоки. Переход к фундаментальным шокам осуществляется за счёт умножения структурной матрицы на ошибки $u_t=A_0 ε_t$. Матрицы $A^i$ являются матрицами импульсных откликов $Ф _i=A^i$ на горизонте $i$. Тогда можно переписать:

$A^i \varepsilon _{t-i}= Ф_iA_0^{-1}u_{t-i}= Ф _i^su_{t-i},$

где $Ф _i^s$ – матрица структурных импульсных откликов (иными словами – матрица реакций на структурные шоки эндогенных переменных на горизонте $i$). Перепишем запись для $y_t$ с учётом полученного равенства:

$y_t=A^ty_0+ \sum_{i=0}^{t-1}A^iBx_{t-i}+\sum_{i=0}^{t-1} Ф _i^su_{t-i}.$

Полученное выражение позволяет в каждый момент времени разложить динамику эндогенных переменных на три составляющие – вклад начальных условий $A^ty_0$ (как правило, достаточно быстро затухает), вклад экзогенных факторов $\sum_{i=0}^{t-1}A^iBx_{t-i}$ и вклад структурных шоков $\sum_{i=0}^{t-1} Ф_i^su_{t-i}$.

Например, если интерес представляет накопленный вклад $j$-го структурного шока в момент времени $t$ в $z$-ю эндогенную переменную, то его можно получить из выражения:

$\sum_{i=0}^{t-1} \widehat{ Ф } ^s_{zj,i} \widehat{u} _{j,t-i},$

где $\widehat{ Ф } ^s_{zj,i}$ – элемент $z$-й строки, $j$-го столбца оценённой матрицы $\widehat{ Ф} ^s_{i}$. Исходя из формулировки, накопленный вклад $j$-го структурного шока между периодами $T_2$ и $T_1$ ($T_2>T_1$) в $z$-ю эндогенную переменную представим в виде:

$\sum_{i=0}^{T_2-1} \widehat{ Ф } ^s_{zj,i} \widehat{u}_{j,T_2-i}- \sum_{i=0}^{T_1-1} \widehat{ Ф } ^s_{zj,i} \widehat{u}_{j,T_1-i}.$

Аналогично декомпозицию можно получить и для модели векторной авторегрессии порядка $\rho$(VARX($\rho$)):

$y_t= \sum_{i=1}^p A_iy_{t-i}+Bx_t+ \varepsilon _t \\ A_i= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}a_{11,i } \ \cdots \ a_{1n,i}\\ \vdots \ \ \ \ddots \ \ \ \vdots \end{array} \\ a_{n1,i} \ \cdots \ a_{nn,i}\end{array}\right) ,$

где $A_i$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины $i$ эндогенных переменных.

Вклад структурных шоков $u$ можно получить при использовании выражения:

$\sum_{i=0}^{t-1} Ф_i^su_{t-i},$

где

$Ф _i^s= \sum_{j=1}^ \rho A_j Ф_{i-j}^s \\ Ф _0^s=A_0^{-1}.$

Вклад экзогенных факторов можно рассчитать посредством подстановки в оценённую модель соответствующих фактических значений временны́х рядов. Модель таким образом генерирует динамику переменных с $t=1$ до необходимого временно́го периода. Так, вклад экзогенных переменных в $t=1$ равен:

$y_1^{exo}=Bx_1.$

В период $t=2$:

$y_2^{exo}=Ay_1^{exo}+Bx_2.$

В период $t=T$:

$y_T^{exo}= \sum_{i=1}^ \rho A_i y_{T-i}^{exo}+Bx_T.$

Альтернативно, VARX($p$) можно представить в виде VARX(1)

$Y_t= \Lambda Y_{t-1}+ \Gamma X_t+E_t \\ Y_t= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}y_t\\ y_{t-1}\end{array} \\ y_{t-2}\end{array} \\ \vdots \end{array} \\ y_{t-p+1}\end{array}\right), \ \Lambda = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}A_1 \ A_2 \ \cdots \ A_{p-1} \ A_p \\ I_n \ \ \ 0 \ \ \cdots \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 0 \end{array} \\ 0 \ \ \ I_n \ \ \ \cdots \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 0 \end{array} \\ \vdots \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \vdots \end{array} \\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \cdots \ \ \ 0 \ \ \ \ I_n\end{array}\right), \\ Y_{t-1}= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}y_{t-1}\\ y_{t-2}\end{array} \\ y_{t-3}\end{array} \\ \vdots \end{array} \\ y_{t-p}\end{array}\right), \Lambda = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}B \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \end{array} \\ 0 \ \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \end{array} \\ \vdots \ \ \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \ \ \vdots \end{array} \\ 0 \ \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0\end{array}\right), \ X_t= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}x_t\\ 0\end{array} \\ 0\end{array} \\ \vdots \end{array} \\ 0\end{array}\right), \\ E = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \varepsilon _t\\ 0\end{array} \\ 0\end{array} \\ \vdots \end{array} \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}A_0^{-1} \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \\ 0 \ \ \ I_n \ \ \cdots \ 0 \ 0 \end{array} \\ 0 \ \ \ 0 \ \ \cdots \ \ \ 0 \ 0 \end{array} \\ \vdots \ \ \ \vdots \ \ \ \ddots \ \ \ \vdots \ \ \ \vdots \end{array} \\ 0 \ \ \ 0 \ \cdots \ \ 0 \ \ I_n\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}u_t\\ 0\end{array} \\ 0\end{array} \\ \vdots \end{array} \\ 0\end{array}\right).$

Тогда произвести историческую декомпозицию можно по тому же алгоритму, что и для модели VARX(1).

Пример из зарубежной литературы

Историческая декомпозиция использовалась для оценки вклада различных факторов в динамику мировой цены на нефть в работах Л. Килиана, Д. П. Мерфи («The role of inventories and speculative trading in the global market for crude oil», 2014), Л. Килиана, Х. Люткеполя («Structural vector autoregressive analysis», 2014). Авторы выделяли вклад шоков предложения нефти, шоков мировой деловой активности и спекулятивных шоков спроса на нефть на основе модели векторной авторегрессии со знаковыми ограничениями и ограничениями на величину эластичности предложения нефти по цене. На рисунке представлена историческая декомпозиция цены на нефть из этих работ в процентном отклонении от среднего.

Декомпозиция цены на нефть в процентном отклонении от среднего. График выполнен по материалам книги: Kilian L., Lütkepohl H. Structural vector autoregressive analysis. Cambridge, 2017.Декомпозиция цены на нефть в процентном отклонении от среднего. График выполнен по материалам книги: Kilian L., Lütkepohl H. Structural vector autoregressive analysis. Cambridge, 2017.

Пример из отечественной литературы

Историческая декомпозиция использовалась в работе Ломоносова и соавторов (Ломоносов. 2020) для выделения вклада факторов, определяющих динамику российского ВВП. Декомпозиция проводилась на основе оценённой модели байесовской векторной авторегрессии со знаковыми ограничениями. Рассматривалось влияние шоков спроса, предложения и шоков мировой торговли. На рисунке представлена декомпозиция темпов роста квартального ВВП в российской экономике в отклонениях от долгосрочных темпов экономического роста.

Декомпозиция темпов роста квартального реального ВВП с коррекцией на долгосрочные темпы роста. Из статьи: Ломоносов Д. А. [и др.]. Шоки спроса, предложения, ДКП и цен на нефть в российской экономике (анализ на основе модели BVAR со знаковыми ограничениями) // Вопросы экономики. 2020. № 10.Декомпозиция темпов роста квартального реального ВВП с коррекцией на долгосрочные темпы роста. Из статьи: Ломоносов Д. А. [и др.]. Шоки спроса, предложения, ДКП и цен на нефть в российской экономике (анализ на основе модели BVAR со знаковыми ограничениями) // Вопросы экономики. 2020. № 10.