Структу́рная ве́кторная авторегре́ссия (SVAR-модель), многомерный аналог авторегрессионного процесса порядка p, на значения параметров которого накладываются ограничения. Данный класс моделей был предложен в работах К. Симса (Sims. 1981; Sims. 1986), Б. Бернанке (Bernanke. 1986) и др.

Разработка SVAR-моделей была обусловлена необходимостью решения проблемы, связанной с тем, что ошибки отдельных уравнений обычной модели векторной авторегрессии (VAR-модели) в общем случае коррелированы друг с другом, в результате чего ковариационная матрица ошибок VAR-модели не является диагональной (Lütkepohl. 2005). Это приводит к тому, что становится невозможно изолировать влияние шоков отдельных компонент вектора ошибок на зависимые переменные, что затрудняет интерпретацию полученных результатов: оценённые значения функций импульсного отклика отражают реакцию зависимых переменных не только на шок какой-либо компоненты вектора ошибок, но и на вторичные шоки, возникшие в силу недиагональности ковариационной матрицы. SVAR-модель позволяет выделить ортогонализованные структурные шоки и оценить скорректированные функции импульсного отклика зависимых переменных на эти шоки.

Необходимость использования SVAR-моделей

Обычная модель векторной авторегрессии (VAR-модель) порядка p имеет следующий вид :

$y_{1t} = \sum\limits_{k=1}^K\sum\limits_{p=1}^P \alpha_{1,k,p} x_{k,t-p} + u_{1t}\\ \vdots \\ y_{Kt}= \sum\limits_{k=1}^K\sum\limits_{p=1}^P \alpha_{K,k,p} x_{K,k,t-p} + u_{Kt}$

или в векторной форме

$y_t = A_1 y_{t-1} + \cdots + A_p y_{t-p} + u_t$

$\left( I - A_1 L^1 + \cdots + A_p L^p \right) y_t = A(L) y_t = u_t$,

где $A_p = \left( \alpha_{ijp} \right)|_{1 \le i \le K, 1 \le j \le K}, u_t = (u_{1,t}, \dots, u_{K,t})', L$ – лаговый оператор.

При оценивании VAR-моделей особый интерес представляют импульсные отклики, которые можно получить при помощи преобразования VAR-модели в модель скользящего среднего:

$y_t = \sum\limits_{i=0}^\infty \Phi_i u_{t-i} = \left( \sum\limits_{i=0}^\infty \Phi_i L^i \right) u_t$,

где $\Phi_0 = I_K, \Phi_i = \sum\limits_{j=1}^i \Phi_{i-j} A_j$ (Lütkepohl. 2005). Значения элементов матриц $\Phi_i$ задают значения функций импульсного отклика эндогенных переменных модели на единичные шоки остатков модели через i периодов после шока.

VAR-модели оказали сильное влияние на моделирование динамики макроэкономических показателей и оказались весьма удобными для целей построения прогнозов. Однако этот класс моделей не избежал критики. VAR-модели критикуются за свою «нетеоретичность», отсутствие необходимости в глубоком и четком теоретическом обосновании (Enders. 2015. P. 313; Greene. 2003. P. 595). Критики отмечают, что построение и оценивание VAR-моделей становится «механическим процессом», в котором перед эконометристом стоит задача простого выбора необходимого набора эндогенных переменных.

Другим направлением критики является то, что функции импульсного отклика, получаемые в результате оценивания VAR-моделей, тяжело поддаются экономической интерпретации. Это связано с тем, что в общем случае ковариационная матрица $\mathrm{Cov}(u_t) = \Sigma_u$ не является диагональной, т. е. в ней присутствуют ненулевые элементы вне главной диагонали (Lütkepohl. 2005). Это означает, что ошибки разных уравнений системы являются коррелированными, что оказывает влияние на интерпретацию импульсных откликов на шоки в этих уравнениях: итоговая траектория импульсного отклика будет отражать реакцию не на конкретный шок, а на его комбинацию с откликами переменных, чьи уравнения включают коррелированные ошибки. Как выразился У. Грин, VAR-модель представляет собой «мешанину» из своих компонентов, что характерно для приведённых форм, которой VAR-модель, собственно, и является (Greene. 2003. P. 595).

Одним из способов решения данной проблемы является разложение по Холецкому ковариационной матрицы $\Sigma_u = P P'$, где P – нижняя треугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали. Однако данный подход также не лишён недостатков, в частности, сохраняется проблема произвольности выбора порядка расположения эндогенных переменных в модели; его использование оправданно только тогда, когда имеются веские основания рассматривать модели с рекурсивной структурой (Lutkepohl. 2005).

Подход структурных VAR-моделей является альтернативным способом получения ортогонализированных ошибок при помощи явного моделирования взаимоотношений между эндогенными переменными, позволяющего получить изолированные структурные шоки и, соответственно, изолированные функции импульсного отклика. Для получения оценок структурных VAR-моделей обычно используется три основных подхода (Giannini. 2013; Enders. 2015; EViews 9. 2015; Lütkepohl. 2005): А-модель, В-модель, АВ-модель.

A-модель

Традиционным способом оценивания модели со взаимно некоррелированными остатками является явное задание связей между наблюдаемыми переменными. Используется структурная модель вида:

$\mathsf{A} y_t = A_1^* y_{t-1} + \cdots + A_p^* y_{t-p} + \varepsilon_t$,

где $A_i^* = \mathsf{A} A_i, \varepsilon_t = \mathsf{A} u_t$. Предполагается, что модель включает в себя K эндогенных переменных и, соответственно, уравнений.

Остатки уравнения имеют нулевое среднее и ковариационную матрицу, равную $\Sigma_\varepsilon = \mathsf{A} \Sigma_u \mathsf{A}'$. Таким образом, выбором матрицы $\mathsf{A}$ можно добиться того, что ковариационная матрица $\Sigma_\varepsilon$ будет диагональной, обеспечивая независимость остатков модели.

Введение в модель матрицы $\mathsf{A}$ приводит к необходимости получения оценок $K^2$ её элементов. Часть необходимых для этого уравнений легко получить из того факта, что ковариационная матрица $\Sigma_\varepsilon = \mathsf{A} \Sigma_u \mathsf{A}'$. Наложение ограничений диагональности на матрицу $\Sigma_\varepsilon$, т. е. требование равенства нулю всех элементов вне главной диагонали, позволяет получить $K (K - 1) / 2$ уравнений. Т. к. для получения единственного решения требуется $K^2$ уравнений, то с учётом уже введённых ограничений диагональности ковариационной матрицы требуется ввести ещё $K (K + 1) / 2$ ограничений. Часто бывает полезно приравнять диагональные элементы матрицы $\mathsf{A}$ единице, что даёт ещё K ограничений (Lütkepohl. 2005).

Главное условие, накладываемое на выбор необходимых ограничений, это существование решения полученной в результате системы уравнений относительно $\mathsf{A}$ и $\Sigma_\varepsilon$:

$\left\{ \begin{aligned} \mathsf{A}^{-1} \Sigma_\varepsilon \mathsf{A}'^{-1} = \Sigma_u\\ C_{\mathsf{A}} \mathrm{vec} (\mathsf{A}) = c_{\mathsf{A}} \end{aligned} \right.$,

где $C_{\mathsf{A}}$ – матрица выбора размера $\left( \frac{1}{2}K (K + 1) \times K^2 \right)$, а $c_{\mathsf{A}}$ – вектор размера $\left( \frac{1}{2}K (K + 1) \times 1 \right)$. $C_{\mathsf{A}}$ и $c_{\mathsf{A}}$ задают введённые ранее ограничения, не считая ограничений диагональности. Данная система должна включать в себя $K^2 + K (K + 1) / 2$ линейно независимых уравнений, чего достаточно для получения оценок всех элементов матриц $\mathsf{A}$ и $\Sigma_\varepsilon$.

B-модель

Для оценивания функций импульсного отклика удобно рассматривать VAR-модели в виде моделей скользящего среднего. Другими словами, фокус внимания переносится с переменных на неожиданный компонент их динамики, т. е. на их шоки. Неудивительно, что возникла идея получения изолированных структурных инноваций $\varepsilon_t$ напрямую из остатков приведённой модели $u_t$. Предположим, что ошибки приведённой модели $u_t$ являются линейной комбинацией структурных инноваций

$\varepsilon_t: \\ u_t = \mathsf{B} \varepsilon_t$.

Построив ковариационную матрицу $\Sigma_u = \mathsf{B} \Sigma_\varepsilon \mathsf{B}'$ и предположив, что все структурные инновации имеют дисперсию, равную 1 (т. е. $\varepsilon_t \sim (0, I_K)$), можно получить, что:

$\Sigma_u = \mathsf{B}\mathsf{B}'$.

Т. к. матрица $\Sigma_u$ симметрична, то возникает $K (K + 1) / 2$ ограничений, что по-прежнему требует ввести ещё $K (K - 1) / 2$ ограничений. Таким образом, условие идентифицируемости модели заключается в существовании решения системы уравнений относительно $\mathsf{B}$

$\left\{ \begin{aligned} \mathsf{B}\mathsf{B}' & = \Sigma_u\\ C_{\mathsf{B}} \mathrm{vec} (\mathsf{B}) & = 0 \end{aligned} \right.$,

где $C_{\mathsf{B}}$ – матрица выбора размера $\left( \frac{1}{2}K (K - 1) \times K^2 \right)$.

При оценивании $\mathsf{B}$-модели следует учитывать одну важную особенность полученного решения. Полученное решение системы уравнений является локальным, т. е. является уникальным только в некоторой своей окрестности (Lütkepohl. 2005). В глобальном плане оно не уникально, т. к. матрица входит в систему в квадратичном виде, т. е. $-\mathsf{B}$ также будет удовлетворять этой системе уравнений. Более того, заменив произвольное число столбцов матрицы $\mathsf{B}$на те же столбцы, но с противоположным знаком, можно получить матрицу, также удовлетворяющую системе уравнений (Lütkepohl. 2005). Это позволяет исследователю корректировать знаки в зависимости от того, какие шоки он исследует.

AB-модель

Иногда $\mathsf{A}$ и $\mathsf{B}$-модели объединяют в единую модель (Giannini. 2013). Например, подобная спецификация используется в программном пакете EViews (EViews 9. 2015. P. 637). Данная модель также формулируется в терминах ошибок приведённой модели и структурных инноваций:

$\mathsf{A} u_t = \mathsf{B} \varepsilon_t$,

где $\varepsilon_t \sim (0, I_K)$.

При помощи рассуждений, аналогичным приведённым выше, можно получить, что

$\Sigma_u = \mathsf{A}^{-1}\mathsf{B}\mathsf{B}'\mathsf{A}'^{-1}$.

С учётом того что $\Sigma_u$ симметрична, представленное уравнение дает $K(K + 1) / 2$ ограничение. При этом не стоит забывать, что для идентификации модели необходимо найти значение всех элементов матриц $\mathsf{A}$ и $\mathsf{B}$ общим числом $2 K^2$. Для этого необходимо ввести $2 K^2 - K(K + 1) / 2 = K(3K - 1) / 2$ дополнительных ограничений. В силу их значительного числа часто рассматривают частные случаи $\mathsf{A} = I_K$ и $\mathsf{B} = I_K$, представляющие собой описанные выше $\mathsf{B}$-модель и $\mathsf{A}$-модель, соответственно.

Условием идентификации модели является существование решения системы уравнений относительно $\mathsf{A}$ и $\mathsf{B}$:

$\left\{ \begin{aligned} \mathsf{A}^{-1}\mathsf{B}\mathsf{B}'\mathsf{A}'^{-1} & = \Sigma_u\\ C_{\mathsf{A}} \mathrm{vec} (\mathsf{A}) & = c_{\mathsf{A}}\\ C_{\mathsf{B}} \mathrm{vec} (\mathsf{B}) & = c_{\mathsf{B}} \end{aligned} \right.$.

В силу того, что матрицы $\mathsf{A}$ и $\mathsf{B}$ входят в систему в квадратичной форме, полученное решение также будет локальным, для которого справедливы все замечания, приведённые для решений $\mathsf{B}$-модели.