Га́мма-распределе́ние, непрерывное, сосредоточенное на положительной полуоси $0 < x < \infty$ распределение вероятностей с плотностью

$$g_\lambda(x)=\frac{1}{\Gamma(\lambda)}x^{\lambda-1}e^{-x},$$где $\lambda$ – параметр, принимающий положительные зна­чения, и $\Gamma(\lambda)$ – гамма-функция Эйлера

$$\Gamma(\lambda)=\int\limits_0^\infty y^{\lambda-1}e^{-y}dy.$$Соответствующая функция распределения при $x\leqslant 0$ равна нулю, а при $x > 0$ выражается формулой

$$G_\lambda(x)=\frac{1}{\Gamma(\lambda)}\int\limits_0^x y^{\lambda-1}e^{-y}dy.$$Интеграл в правой части называется неполной гамма-функцией. Плотность $g_\lambda(x)$ унимодальна и при $\lambda > 1$ достигает максимума $(\lambda-1)^{\lambda-1}e^{-(\lambda-1)}/\Gamma(\lambda)$в точке $x=\lambda-1$. При $0<\lambda<1$ плотность $g_\lambda(x)$ с ростом $x$ монотонно убывает, причём если $x\to +0$, то $g_\lambda(x)$ не­ограниченно возрастает. Характеристическая функция гамма-распределения имеет вид:

$\varphi(t)= (1-it)^{-\lambda}.$Моменты гамма-распределения выражаются формулой:

$$m_k=\int\limits_0^\infty x^k g_\lambda(x)dx=\frac{\Gamma(\lambda+k)}{\Gamma(\lambda)}, \quad k>-\lambda;$$в частности, математическое ожидание и дисперсия равны $\lambda$. Гамма-распределение замкнуто относительно операции свёртки:

$g_{\lambda_1} \ast g_{\lambda_2} = g_{\lambda_1+\lambda_2}.$Гамма-распределения играют не всегда явную, но значительную роль в приложениях. В частном случае $\lambda=1$ получается показательная плотность. В теории массового обслуживания гамма-распределение при $\lambda$, принимающем целочисленные значения, называется распределением Эрланга.

В математической статистике гамма-распределение часто встречаются бла­годаря тесной связи с нормальным распределением, т. к. сумма квадратов $\chi^2=X_1^2+...+X_n^2$ взаимно неза­висимых $(0,1)$ нормально распределённых случайных величин имеет плотность $0,5 g_{n/2}(x/ 2)$ и называется хи-квадрат плотностью с $n$ степенями свободы. Ввиду этого с гамма-распределением связаны многие важные распределения в задачах математической статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределённых случайных величин (например, распределение Стьюдента, F-распределение и z-распределение Фишера). Ес­ли $X_1$ и $X_2$ независимы и распределены с плотностями $g_{\lambda_1}$ и $g_{\lambda_2}$, то случайная величина $X_1/(X_1+X_2)$ имеет плотность

$$\frac{\Gamma(\lambda_1+\lambda_2)}{\Gamma(\lambda_1)\Gamma(\lambda_2)}x^{\lambda_1-1}(1-x)^{\lambda_2-1}, \quad 0<x<1,$$которая называется плотностью бета-pаспределения. Плотности линейных функций $aX+b$ от случайных величин $X$, подчиняющихся гамма-распределению, состав­ляют специальный класс распределений – т. н. «тип III» семейства распределений Пирсона. Плотность гамма-распределения является весовой функцией систе­мы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции гамма-распределения можно вычислить по таблицам неполной гамма-функции (Пагурова. 1963).