Бе́та-распределе́ние, непрерывное сосредоточенное на $(0,1)$ распределение вероятностей с плотностью

$$\beta_{m, n}(x)=\frac{1}{\mathrm{B}(m, n)} x^{m-1}(1-x)^{n-1}, \tag{1}$$где параметры $m, n$ неотрицательны и нормирующий множитель $\mathrm{B}(m, n)$ есть бета-функция Эйлера

$$\mathrm{B}(m, n)=\int\limits_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}\, d x=\frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$[$\Gamma(n)$ – гамма-функция]. Функция распределения выражается через неполную бета-функцию

$$\mathrm{B}_{m, n}(x)=\frac{1}{\mathrm{B}(m, n)} \int\limits_0^x y^{m-1}(1-y)^{n-1}\, d y, \quad 0<x<1$$(эта функция табулирована, см. Большев. 1968; Пирсон. 1974). Моменты бета-распределения выражаются формулой

$$m_k=\frac{\mathrm{B}(m+k, n)}{\mathrm{B}(m, n)},\quad k=1,2, \ldots;$$в частности, математическое ожидание и дисперсия равны $m /(m+n)$ и $m n /(m+n)^2(m+n+1)$ соответственно. Если $m>1$ и $n>1$, то кривая плотности $\beta_{m, n}(x)$ имеет единственную точку максимума $x=(m-1) /(m+n-2)$ и обращается в нуль на концах интервала. Если $m<1$ или $n<1$, то одна из крайних ординат графика бесконечна, а если и $m<1$, и $n<1$, то обе ординаты на концах интервала бесконечны и кривая имеет U-образную форму. При $m=1$ и $n=1$ бета-распределение превращается в равномерное распределение в интервале $(0,1)$. Другим частным случаем бета-распределения является т. н. распределение арксинуса

$$\beta_{1/2,\,1/2}(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}.$$При замене в (1) $x=1 /(1+t)$ получается распределение с плотностью

$$\beta_{m, n}^{\prime}(t)=\frac{1}{\mathrm{~B}(m, n)} \cdot \frac{t^{m-1}}{(1+t)^{m+n-2}}, \quad 0<t<\infty. \tag{2}$$Это распределение называется бета-распределением второго рода, в отличие от бета-распределения (1). Распределения (1) и (2) соответствуют распределениям «типа I» и «типа VI» в системе кривых Пирсона. Один из важных случаев возникновения бета-распределения таков: если $X_1$ и $X_2$ независимы и имеют гамма-распределения с параметрами $m$ и $n$ соответственно, то случайная величина $X_1 /\left(X_1+X_2\right)$ имеет бета-распределение с плотностью $\beta_{m, n}(x)$. Этот факт в большой степени объясняет ту роль, которую бета-распределение играет в приложениях, в частности в математической статистике: распределения многих важнейших статистик сводятся к бета-распределению. Например, функция распределения $F$-отношения

$$F_{m, n}=\frac{n \chi_m^2}{m \chi_n^2}$$(случайная величина $\chi_k^2$ имеет распределение хи-квадрат с $k$ степенями свободы) выражается формулой

$$\mathsf{P}\left(F_{m, n}<x\right)=\mathrm{B}_{\frac{m}{2}, \frac{n}{2}}\left(\frac{m x}{n+m x}\right)$$(обычно значения F-распределения вычисляются с помощью таблиц бета-распределения). Функция бета-распределения позволяет также вычислять значения функций биномиального распределения, ввиду соотношения

$$\mathrm{B}_{n-m, m+1}(1-p)=\sum_{k=0}^m C_{n}^k p^k(1-p)^{n-k}.$$Бета-распределение находит применение не только в математической статистике: так, например, плотность бета-распределения является весовой функцией для системы ортогональных многочленов Якоби.