Моме́нт случа́йной величины́, числовая характеристика распределения вероятностей. Момент порядка $k$ ($k$ – натуральное число) действительной случайной величины $X$ определяется как математическое ожидание $\mathsf E X^k$ случайной величины $X^k$, если оно существует. Если $F(x)$ – функция распределения случайной величины $X$, то $$\mathsf E X^k=\int \limits _{-\infty}^\infty x^k\,dF(x)$$при условии, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если $X$ принимает значения $x_1,x_2,\ldots$ с вероятностями $p_1,p_2,\ldots$, то $$\mathsf E X^k=\sum \limits _{k=1}^\infty x^kp_k$$при условии, что ряд сходится абсолютно; если распределение $X$ имеет плотность $p(x)$, то $$\mathsf E X^k=\int \limits _{-\infty}^\infty x^kp(x)\,dx$$при условии, что интеграл сходится абсолютно.

Величина $\mathsf E(X-a)^k$ называется моментом порядка $k$ относительно $a$, $\mathsf E(X-\mathsf EX)^k$ – центральным моментом порядка $k$. Центральный момент 2-го порядка $\mathsf E(X-\mathsf EX)^2$ называется дисперсией и обозначается $\mathsf D X$. Величина $\mathsf E |X|^ k$, $k$ – положительное число, называется абсолютным моментом случайной величины $X$ порядка $k$. По определению считается, что момент и абсолютный момент нулевого порядка любой случайной величины равны единице.

Для абсолютных моментов справедливо неравенство Ляпунова $(\mathsf E |X|^s)^{1/s}{⩽}(\mathsf E|X|^k)^{1/k}$, при $0{<}s{<}k$, полученное А. М. Ляпуновым (1900), из которого следует, в частности, что из существования момента порядка $k$ следует существование всех моментов меньших порядков.

Момент порядка $k$ совместного (многомерного) распределения случайных величин $X_1,\ldots,X_n$ определяется как $\mathsf E(X _1^{k_1} \ldots X_n^{k_n})$, где $k_i$, $i=1,\ldots,n$, – неотрицательные целые числа, $k_1+\ldots+k_n=k$, и называется смешанным моментом порядка $k$, а $\mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)^{k_1}\ldots(X_n-\mathsf EX_n)^{k_n}$ – центральным смешанным моментом порядка $k$. Смешанный момент $\mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)(X_2-\mathsf EX_2)$ называется ковариацией и служит одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами.

Если известны моменты распределения, то можно сделать некоторые утверждения о вероятностях отклонения случайной величины от её математического ожидания в терминах неравенств; наиболее известны неравенство Чебышёва$$\mathsf P \{ |X-\mathsf EX|{⩾}ε \} {⩽} \frac{\mathsf D X}{ε^2}, \quad ε{>}0,$$и его обобщения. Значения моментов случайных величин входят в формулировки многих утверждений теории вероятностей.

Задача, состоящая в определении распределения вероятностей последовательностью его моментов, носит название проблемы моментов. Эта задача впервые рассматривалась П. Л. Чебышёвым (1874) в связи с исследованиями по предельным теоремам теории вероятностей. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины однозначно определялось своими моментами $α_k=\mathsf EX^k$, $k=1,2,\ldots$, достаточно, например, выполнения условия Карлемана $$\sum_{k=1}^\infty (α_{2k})^{-1/(2k)}={\infty}.$$Одним из простейших примеров распределения, которое не определяется однозначно своими моментами, является логарифмически-нормальное распределение.

В математической статистике для статистической оценки параметров распределения служат выборочные моменты (см. Выборочная характеристика).