F-распределе́ние Фи́шера (распределение Фишера – Снедекора, распределение Снедекора) – непрерывное, сосредоточенное на $(0, \infty)$ распределение вероятностей с плотностью

$$f_{\displaystyle\nu_1, \nu_2}=\frac{1}{B\left(\displaystyle\frac{\nu_1}{2},\frac{\nu_2}{2}\right)} \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\displaystyle\frac{\nu_1}{2}} x^{\dfrac{\nu_1}{2}-1}\left(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}x\right)^{-\dfrac{\nu_1+\nu_2}{2}}, \tag1$$где $x>0$, $\nu_1> 0$ и $\nu_2> 0$ – параметры, а $B(l_1,l_2)$ – бета-функция. При $\nu_1> 2$ это унимодальное (одновершинное), с положительной асимметрией распределение с модой в точке $x=\displaystyle\frac{\nu_1-2}{\nu_1}\cdot\frac{\nu_2}{\nu_2+2}$. Математическое ожидание и дисперсия F-распределения Фишера равны соответственно $\nu_2/(\nu_2-2) \quad\textrm{при}\quad \nu_2 > 2$ и $\displaystyle\frac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)} \quad\textrm{при}\quad \nu_2 > 4.$

F-распределение Фишера сводится к бета-распределению 2-го рода (распределению типа 4 по классификации Пирсона). F-распределение Фишера можно рассматривать как распределение случайной величины, представимой в форме отношения

$$\displaystyle F_{\nu_1, \nu_2}=\nu_1X_1/\nu_2X_2,$$где независимые случайные величины $X_1$ и $X_2$ имеют гамма-распределения с параметрами $\nu_1/2$ и $\nu_2/2$ соот­ветственно. Функция распределения для $F_{\nu_1, \nu_2}$ выражается через функцию распределения $B_{l_1, l_2}(x)$ бета-распределения:

$$\mathrm{P}\left\{F_{\displaystyle\nu_1, \nu_2}<x\right\} = B_{\displaystyle\frac{\nu_1}{2}, \frac{\nu_2}{2}} \left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\nu_1}{\nu_2}x}{1+\displaystyle\frac{\nu_1}{\nu_2}}\right). \tag2$$Это соотношение используется для вычисления значений F-распределения Фишера с помощью таблиц бета-распределения. Если $\nu_1=m$ и $\nu_2=n$ целые, то F-распределением Фишера с $m$ и $n$ степенями свободы называется распределение F-отношения

$$F_{mn}=\displaystyle\frac{\chi^2_m}{m}/\frac{\chi^2_n}{n}, \tag3$$где $\chi^2_m$ и $\chi^2_n$ – независимые случайные величины, имею­щие хи-квадрат распределения с $m$ и $n$ степенями свободы соответственно.

F-распределение Фишера играет фундаментальную роль в математической статистике и появляется в первую очередь как распределение отношения двух выборочных дисперсий.

Именно: пусть $X_1, \dots, X_m$ и $Y_1, \dots, Y_n$ – выборки из нормальных совокупностей с параметрами $(a_1, \sigma_1)$ и $(a_2, \sigma_2)$. Выражения

$s_1^2=\dfrac{1}{m-1}\sum\limits_i(X_i-\overline{X})^2 \quad\mathrm{и}\quad s_2^2=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_j(Y_j-\overline{Y})^2,$где $\overline{X}=\sum\limits_i X_i/m$, $\overline{Y}=\sum\limits_j Y_j/n$, служат оценками дисперсий $\sigma_1^2$ и $\displaystyle\sigma_2^2$. Тогда т. н. дисперсионное отношение $F=\dfrac{\sigma_2^2s_1^2}{\sigma_1^2s_2^2}$ имеет при гипотезе $\sigma_1=\sigma_2$ F-распределение Фишера с $m-1$ и $n-1$ степенями свободы (в этом качестве F-распределение Фишера называют также распределением дисперсионного отношения). На статистике $F$ основан F-критерий, используемый, в частности, для проверки гипотезы равенства дисперсии двух совокупностей, в дисперсионном анализе, регрессионном анализе, многомерном статистическом анализе.

Универсальность F-распределения Фишера подчёркивается связями с другими распределениями. При $m=1$ квадрат величины $F_{mn}$ из (3) имеет распределение Стьюдента с $n$ степенями свободы. Существуют различные аппроксимации F-распределения Фишера с помощью нормального распределения и «хи-квадрат» распределения.

Введение в дисперсионный анализ F-распределения Фишера связано с именем Р. Фишера (R. Fisher, 1924), хотя сам Фишер использовал для дисперсионного отношения величину $Z$, которая связана с $F$ равенством $Z = \dfrac{1}{2}\log F$. Распределение $Z$ было табулировано Р. Фишером, а F-распределение Фишера – Дж. Снедекором (G. Snedecor, 1937). В современной практике предпочитают более простое F-распределение Фишера, используя его связь с бета-распределением (2) и таблицы неполной бета-функции.