Многочлены Лагерра

Многочле́ны Лаге́рра (многочлены Чебышёва – Лагерра), многочлены, ортогональные на интервале $(0, \infty)$ с весовой функцией$h(x)=x^α e^{–x}$, где $α>–1$. Многочлены Лагерра определяются формулой

$$\displaystyle L_n=(x;\alpha) = (-1)^n \frac{x^{-\alpha}e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^{\alpha+n} t^{-x}),\text{ }n=0, \text{ }1,\text{ }2, \text{ } \dots$$При $\alpha=0$ многочлены Лагерра впервые встречаются у Ж. Лагранжа (1788). Начало систематическому изучению этих многочленов положил П. Л. Чебышёв (1859), первая работа Э. Лагерра относится к 1879 г. При $\alpha > –1$ многочлены рассматривал Ю. В. Сохоцкий (1873).

Если функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема на интервале $(0, \infty)$, интегрируема на этом интервале с весом $h(x)=x^\alpha e^{–x}$, то при некоторых дополнительных условиях эта функция разлагается в ряд Фурье по многочленам Лагерра, то есть

$$\displaystyle f(x)=\sum\limits^\infty_{n=0}a_n(\alpha) L_n(x;\alpha),x \in (0,\infty),$$где коэффициенты Фурье – Лагерра определяются формулой

$$\displaystyle a_n(\alpha) = \frac{n!}{\Gamma(n+a+1)} \int \limits^\infty_{n=0}x^\alpha e^{-x}f(x)L_n(x;\alpha)dx,\text{ } n=0,\text{ } 1,\text{ } 2, \dots$$Многочлены Лагерра применяются в вычислительной математике и математической физике.