Термины

Многочлены Лагерра

Многочле́ны Лаге́рра (многочлены Чебышёва – Лагерра), многочлены, ортогональные на интервале (0,)(0, \infty) с весовой функциейh(x)=xαexh(x)=x^α e^{–x}, где α>1α>–1. Многочлены Лагерра определяются формулой

Ln=(x;α)=(1)nxαexn!dndxn(xα+ntx), n=0, 1, 2, \displaystyle L_n=(x;\alpha) = (-1)^n \frac{x^{-\alpha}e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^{\alpha+n} t^{-x}),\text{ }n=0, \text{ }1,\text{ }2, \text{ } \dotsПри α=0\alpha=0 многочлены Лагерра впервые встречаются у (1788). Начало систематическому изучению этих многочленов положил (1859), первая работа относится к 1879 г. При α>1\alpha > –1 многочлены рассматривал (1873).

Если функция f(x)f(x) непрерывно дифференцируема на интервале (0,)(0, \infty), интегрируема на этом интервале с весом h(x)=xαexh(x)=x^\alpha e^{–x}, то при некоторых дополнительных условиях эта функция разлагается в по многочленам Лагерра, то есть

f(x)=n=0an(α)Ln(x;α),x(0,),\displaystyle f(x)=\sum\limits^\infty_{n=0}a_n(\alpha) L_n(x;\alpha),x \in (0,\infty),где коэффициенты Фурье – Лагерра определяются формулой

an(α)=n!Γ(n+a+1)n=0xαexf(x)Ln(x;α)dx, n=0, 1, 2,\displaystyle a_n(\alpha) = \frac{n!}{\Gamma(n+a+1)} \int \limits^\infty_{n=0}x^\alpha e^{-x}f(x)L_n(x;\alpha)dx,\text{ } n=0,\text{ } 1,\text{ } 2, \dotsМногочлены Лагерра применяются в и .

  • Ряды Фурье