Га́мма-фу́нкция ($\Gamma$-функция), трансцендентная функция $\Gamma(z)$, распространяющая значения факториала $z!$ на случай любого комплексного $z \neq 0,-1, -2, \ldots$ Гамма-функция введена Л. Эйлером в 1729 г. в письме к X. Гольдбаху при помощи бесконечного произведения$$\begin{gathered}                 \Gamma(z)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n ! n^z}{z(z+1) \ldots(z+n)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^z}{z(1+z)\left(1+\frac{z}{2}\right) \ldots\left(1+\frac{z}{n}\right)}, \end{gathered}$$из которого Л. Эйлер получил интегральное представление (эйлеров интеграл второго рода)$$\Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1} e^{-x} d x,$$верное для $\operatorname{Re} z>0$. Многозначность функции $x^{z-1}$ устраняется формулой $x^{z-1}=e^{(z-1) \ln x}$ с действительным $\ln x$. Обозначение $\Gamma(z)$ и название «гамма-функция» были предложены A.-M. Лежандром в 1814 г.

Если $\operatorname{Re} z<0$ и $-k-1<\operatorname{Re} z<-k$, $k=0,1,2, \ldots,$ то гамма-функция может быть представлена интегралом Коши – Зальшюца:$$\Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1}\left(e^{-x}-\sum_{m=0}^k(-1)^m \frac{x^m}{m !}\right) d x .$$На всей плоскости $z$ с выброшенными точками $z=0$, $-1,-2, \ldots$ для гамма-функции справедливо интегральное представление Ганкеля:$$\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2 \pi i z}-1} \int_C s^{z-1} e^{-s} d s,$$

Рис. 1. Контур C.Рис. 1. Контур C.где $s^{z-1}=e^{(z-1) \ln s}$, причём $\ln s$ есть ветвь логарифма, для которой $0< \arg \ln s \leqslant 2 \pi$; контур $C$ изображён на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что $\Gamma(z)$ – мероморфная функция. В точках $z_n=-n$, $n=0,1,2, \ldots ,$ она имеет простые полюсы с вычетами $(-1)^n / n!$

Основные соотношения и свойства гамма-функции.

1) Функциональное уравнение Эйлера:$$z \Gamma(z)=\Gamma(z+1),$$или$$\Gamma(z)=\frac{1}{z(z+1) \cdots(z+n)} \Gamma(z+n+1) ;$$$\Gamma(1)=1$, $\Gamma(n+1)=n !$, если $n>0$ – целое, при этом считают $0 !=\Gamma(1)=1$.

2) Формула дополнения Эйлера:$$\Gamma(z) \Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z} .$$В частности,$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} ; \quad \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots(2 n-1)}{2^n} \sqrt{\pi},$$если $n>0$ – целое, то$$\left|\Gamma\left(\frac{1}{2}+i y\right)\right|^2=\frac{\pi}{\operatorname{ch} y \pi}, \quad y \text { – } действительное$$3) Формула умножения Гаусса:$$\prod_{k=0}^{m-1} \Gamma\left(z+\frac{k}{m}\right)=(2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{\frac{1}{2}-m z} \Gamma(m z),$$при $m=2$ это есть формула удвоения Лежандра.

4) При $\operatorname{Re} z \geqslant \delta>0$ или $|\operatorname{Im} z| \geqslant \delta>0$ имеет место асимптотическое разложение $\ln \Gamma(z)$ в ряд Стирлинга:$$\begin{gathered} \ln \Gamma(z)=\left(z-\frac{1}{2}\right) \ln z-z+\frac{1}{2} \ln 2 \pi +\sum_{n=1}^m \frac{B_{2 n}}{2 n(2 n-1) z^{2 n-1}}+O\left(z^{-2 m-1}\right), \\ m=1,2, \ldots, \end{gathered}$$где $B_{2n}$ – числа Бернулли, из чего следует равенство$$\begin{gathered} \Gamma(z)=\sqrt{2 \pi} z^{z-\frac{1}{2}} e^{-z}\left[1+\frac{z^{-1}}{12}+\frac{z^{-2}}{288}-\right. \left.\frac{139 z^{-3}}{51840}-\frac{571 z^{-4}}{2488320}+O\left(z^{-5}\right)\right] . \end{gathered}$$В частности,$$\Gamma(1+x)=\sqrt{2 \pi} x^{x+\frac{1}{2}} e^{-x+\frac{\theta}{12 x}}, \quad 0<\theta<1 .$$Более точной является формула Н. Я. Сонина (Сонин. 1954):$$\Gamma(1+x)=\sqrt{2 \pi} x^{x+\frac{1}{2}} e^{-x+\frac{1}{12(x+\theta)}}, \quad 0<\theta<\frac{1}{2} .$$5) В действительной области $\Gamma(x)>0$ для $x>0$ и принимает знак $(-1)^{k+1}$ на участках

$-k-1<x<-k$, $k=0,1,2, \ldots$ (см. рис. 2). Для всех действительных $x$ справедливо неравенство$$\Gamma \Gamma^{\prime \prime}>(\Gamma^\prime)^ 2 \geqslant 0,$$т. е. все ветви, как $|\Gamma(x)|$, так и $\ln |\Gamma(x)|$,– выпуклые функции. Свойство логарифмической выпуклости определяет гамма-функцию среди всех решений функционального уравнения$$\Gamma(1+x)=x \Gamma(x)$$с точностью до постоянного множителя.

Рис. 2. График гамма-функции.Рис. 2. График гамма-функции.Для положительных $x$ гамма-функция имеет единственный минимум при $x=1,4616321 \ldots,$ равный $0,885603 \ldots$ Локальные минимумы функции $|\Gamma(x)|$ при $x \rightarrow-\infty$ образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

Рис. 3. График гамма-функции в минус первой степени.Рис. 3. График гамма-функции в минус первой степени.6) В комплексной области, при $\operatorname{Re} z> 0$, гамма-функция быстро убывает при $|\operatorname{Im} z| \rightarrow \infty$$$\lim _{|\operatorname{Im} z| \rightarrow \infty}|\Gamma(z)||\operatorname{Im} z|^{\frac{1}{2}-\operatorname{Re} z} e^{\frac{\pi}{2}|\operatorname{Im} z|}=\sqrt{2 \pi} .$$7) Функция $1/\Gamma (z)$ (см. рис. 3) является целой функцией $1$-го порядка максимального типа, причём асимптотически при $r \rightarrow \infty$$$\ln M(r) \sim r \ln r,$$где$$M(r)=\max _{|z|=r} \frac{1}{|\Gamma(z)|} .$$Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:$$\frac{1}{\Gamma(z)}=z e^{C z} \prod_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}\right],$$абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь $C$ – постоянная Эйлера). Справедливо интегральное представление Ганкеля:$$\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C^*} e^s s^{-z} ds,$$где контур $C^*$ изображён на рис. 4.

Рис. 4. Контур C*.Рис. 4. Контур C*.Интегральные представления для степеней гамма-функции были получены Г. Ф. Вороным (Вороной. 1952).

В приложениях большую роль играют так называемые полигамма-функции, являющиеся $k$-ми производными от $\ln \Gamma(z)$. Функция ($\psi$-функция Гаусса)$$\begin{aligned}\psi(z)&=\frac{d}{d z} \ln \Gamma(z)=\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)} =-C+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z-1}{(n+1)(z+n)}=\\ &=-C+\int_0^1 \frac{1-(1-t)^{z-1}}{t} d t \end{aligned}$$мероморфна, имеет простые полюсы в точках $z=0,-1, -2, \dots$ и удовлетворяет функциональному уравнению$$\psi(z+1)-\psi(z)=\frac{1}{z} .$$Из представления $\psi(z)$ при $|z|<1$ следует формула$$\ln \Gamma(1+z)=-C z+\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k S_k}{k} z^k,$$где$$S_k=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-k};$$эта формула полезна для вычисления $\Gamma(z)$ в окрестности точки $z=1$.

О других полигамма-функциях см. (Бейтмен, Эрдейи. 1965). Неполная гамма-функция определяется равенством$$I(x, y)=\int_0^y e^{-t} t^{x-1} dt.$$Функции $\Gamma(z)$, $\psi(z)$ суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль гамма-функции в математическом анализе определяется тем, что при помощи гамма-функции выражается большое количество определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., например, бета-функция). Кроме того, гамма-функция находит широкие применения в теории специальных функций (гипергеометрической функции, для которой гамма-функция является предельным случаем, цилиндрических функций и других), в аналитической теории чисел и т. д.