Декомпози́ция диспе́рсии оши́бки прогно́за (англ. forecast error variance decomposition, FEVD), способ представления дисперсии ошибки прогноза временны́х рядов на определённом временно́м горизонте на основе оценённой модели векторной авторегрессии (VAR) в виде вклада структурных шоков переменных, используемых в этой VAR-модели. В отличие от исторической декомпозиции, позволяет выяснить, насколько важен усреднённый относительный вклад структурных шоков отдельных переменных в колебания исследуемых макроэкономических показателей и как изменяется данный вклад со временем.

Например, ряд авторов полагают, что шоки спроса оказывают ощутимое влияние на экономику в краткосрочной и среднесрочной перспективе, но в долгосрочном периоде бо́льшая часть динамики бизнес-цикла объясняется шоками предложения, технологическими шоками (Blanchard. 1989). Соответственно, оценка эволюции вклада шоков спроса и предложения в динамику выпуска и инфляции оказывается важной для центральных банков, использующих режим таргетирования инфляции, поскольку они в состоянии эффективно сглаживать шоки спроса, в то время как при шоках предложения перед ними встаёт выбор между стабилизацией инфляции или выпуска. Помимо классических шоков спроса и предложения, интерес для властей представляет и более широкий набор потрясений, охватывающих в том числе глобальную экономическую активность, сырьевые рынки (Jovičić. 2017). 

Методология

Рассмотрим модель векторной авторегрессии VARX$(1)$ в которой $n$ эндогенных переменных и $m$ экзогенных переменных:

$y_t=Ay_{t-1}+Bx_t+ \varepsilon_t$

$y_t= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}y_{1,t}\\ y_{2,t}\end{array}\\ \vdots \end{array} \\ y_{n,t}\end{array}\right), \ A= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}a_{11} \ \cdots \ a_{1n} \\ \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \ \end{array} \\ a_{n1} \ \cdots \ a_{nn} \end{array}\right), \ B=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}b_{11} \ \cdots \ b_{1m} \\ \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \ \end{array} \\ b_{n1} \ \cdots \ b_{nm} \end{array}\right), \\ x_t= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} x_{1,t} \\ x_{2,t} \end{array} \\ \vdots \end{array} \\ x_{m,t}\end{array}\right), \ \varepsilon_t = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \varepsilon_{1,t} \\ \varepsilon_{2,t} \end{array} \\ \vdots \end{array} \\ \varepsilon_{n,t}\end{array}\right),$ 

где $y_t$ – вектор эндогенных переменных в период $t$, $x_t$ – вектор экзогенных переменных (куда входит константа), $A$ – матрица коэффициентов перед лагом эндогенных переменных, $B$ – матрица коэффициентов перед экзогенными переменными, $\varepsilon_ t$ – ошибки.

Подставим вместо $y_{t-1}$ записанное ранее равенство:

$y_t=A(Ay_{t-2}+Bx_{t-1}+ \varepsilon _{t-1})+Bx_t+ \varepsilon_ t=A^2y_{t-2}+Bx_t+ABx_{t-1}+ \varepsilon_ t+A \varepsilon _{t-1}.$

Продолжая рекурсивную запись, получим:

$y_t=A^ty_0+ \sum_{i=0}^{t-1} A^iBx_{t-i}+ \sum_{ i=0}^{t-1} A^i \varepsilon _{t-i}.$

Для работы со структурными (некоррелированными) шоками ошибки представимы в виде $\varepsilon_ t=A_0^{-1}u_t$, где $A_0$ – структурная матрица размерностью $n \times n$, $u_t$ – фундаментальные шоки. Переход к фундаментальным шокам осуществляется за счёт умножения структурной матрицы на ошибки $u_t=A_0 ε_t$. Матрицы $A^i$ являются не чем иным, как матрицами импульсных откликов $Ф_i=A^i$ на горизонте $i$. Тогда можно переписать:

$A^i \varepsilon _{t-i}=Ф_iA_0^{-1}u_{t-i}=Ф_i^su_{t-i},$

где $Ф_i^s$ – матрица структурных импульсных откликов (иными словами, матрица реакций на структурные шоки эндогенных переменных на горизонте $i$). Введённые обозначения позволяют представить $y_t$ в виде:

$y_t=A^ty_0+ \sum_{i=0}^{t-1} A^iBx_{t-i}+ \sum_{i=0}^{t-1} Ф_i^su_{t-i}.$

 Тогда на любом горизонте $h=1,2,...,H$ в момент времени $t$: 

$y_{t+h}=A^{t+h}y_0+ \sum_{i=0}^{t-1+h} A^iBx_{t-i+h}+ \sum_{i=0}^{t-1+h} Ф_i^su_{t-i+h}=A^{t+h}y_0+ \sum_{i=0}^{ t-1+h} A^iBx_{t-i+h} + \sum_{i=0}^{h-1} Ф_i^su_{t-i+h}+ \sum_{i=h}^{t-1+h} Ф_i^su_{t-i+h}.$

Компонента $\sum_{i=0}^{ t-1+h} Ф_i^su_{t-i+h}$ раскладывается на две части: $\sum_{i=h}^{t-1+h} Ф_i^su_{t-i+h}$, известную на момент времени $t$, и неизвестную компоненту $\sum_{i=0}^{h-1} Ф_i^su_{t-i+h}$ (поскольку случайные шоки с момента времени $t+1$ по $t+h$ в момент времени t ещё не возникли). В связи с тем, что экзогенные факторы воспринимаются как заданные (на них не накладывается динамическая/случайная структура), то их математическое ожидание будет равно фактическому значению. Данное положение также касается начальных условий и произошедших к моменту времени $t$ шоков. 

Математическое ожидание будущих шоков в VAR-модели по определению равняется нулю. Тогда ошибка прогноза записывается следующим образом:

$y_{t+h}-Ε(y_{t+h|t})= \sum_{i=0}^{h-1} Ф_i^su_{t-i+h}.$

Без потери общности можно предположить, что дисперсии структурных шоков равны единице, поскольку это результат нормировки:

$D(u_{i,t})= \sigma^ 2_{u_i}=1 \ ∀ i,t.$

Ошибка прогноза для $z$-й эндогенной переменной представима в виде:

$y_{z,t+h}-Ε(y_{z,t+h|t})=\sum_{i=0}^{h-1} \sum_{j=1}^n ф _{zj,i}^s u_{j,t-i+h}= \sum_{i=0}^{h-1} ф_{z1,i}^s u_{1,t-i+h} +...+ \sum_{i=0}^{h-1} ф_{zn,i}^s u_{n,t-i+h},$

где $ф_{zj,i}^s$ – элемент $z$-й строки, $j$-го столбца оценённой матрицы $\widehat{Ф} _i^s$. Далее рассчитывается дисперсия уравнений с обеих сторон. С учётом того, что структурные шоки не коррелированы между собой, получается выражение декомпозиции дисперсии ошибки прогноза для $z$-й эндогенной переменной на горизонте $h$:

$σ_{y_z,h}^2=σ_{u_1}^2 \sum_{i=0}^{h-1} (ф_{z1,i}^s )^2 +...+σ_{u_n}^2 \sum_{i=0}^{h-1}(ф_{zn,i}^s )^2.$

При нормировке дисперсий структурных шоков к единице выражение упрощается:

$σ_{y_z,h}^2= \sum_{i=0}^{h-1} (ф_{z1,i}^s )^2 +...+ \sum_{i=0}^{h-1} (ф_{zn,i}^s )^2.$

От данной записи можно перейти к записи с точки зрения вкладов, объясняемых шоками переменных, используемых в VAR-модели. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на $σ_{y_z,h}^2$:

$1= \frac{σ_{u_1}^2}{σ_{y_z,h}^2} \sum_{i=0}^{h-1} (ф_{z1,i}^s )^2 +...+ \frac{σ_{u_n}^2}{σ_{y_z,h}^2} \sum_{i=0}^{h-1} (ф_{zn,i}^s )^2 .$

Соответственно, доля дисперсии ошибки прогноза $z$-й эндогенной переменной на горизонте $h,$ объясняемая шоком $j$-й переменной, составляет:

$\frac{σ_{u_j}^2}{σ_{y_z,h}^2} \sum_{i=0}^{h-1} (ф_{zj,i}^s )^2.$

Аналогично декомпозицию можно получить и для модели векторной авторегрессии порядка $p$(VARX$(p)$): 

$y_t= \sum_{i=1}^p A_iy_{t-i}+Bx_t+ \varepsilon_ t \\ A_i= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}a_{11,i} \ \cdots \ a_{1n,i} \\ \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \end{array}\\ a_{n1,i} \ \cdots \ a_{nn,i} \end{array}\right) ,$

где $A_i$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины $i$ эндогенных переменных.

Для этого можно воспользоваться формулами: 

$Ф_i^s= \sum_{j=1}^p A_jФ_{i-j}^s \\ Ф_0^s=A_0^{-1}$

или представить модель VAR$(p)$ в виде модели VARX(1):

$Y_t= \Lambda Y_{t-1}+ \Gamma X_t+Ε_t \\ Y_t= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}y_t\\ y_{t-1}\end{array} \\ y_{t-2}\end{array}\\ \vdots \end{array} \\ y_{t-p+1}\end{array}\right), \ \Lambda = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} A_1 \ A_2 \ \cdots \ A_{p-1} \ A_p \\ I_n \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \cdots \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0 \end{array} \\ 0 \ \ \ \ I_n \ \ \ \ \cdots \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0 \end{array}\\ \vdots \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \vdots \end{array} \\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \cdots \ \ \ \ I_n \ \ \ \ 0\end{array}\right), \ \\ Y_{t-1}= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}y_{t-1}\\ y_{t-2}\end{array} \\ y_{t-3}\end{array}\\ \vdots \end{array} \\ y_{t-p}\end{array}\right), \ \Gamma = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} B \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \\ 0 \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \end{array} \\ 0 \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \end{array}\\ \vdots \ \ \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \ \ \vdots \end{array} \\0 \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \end{array}\right), X_t = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c}x_t\\ 0\end{array} \\ 0\end{array}\\ \vdots \end{array} \\ 0\end{array}\right), \\ E_t = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \varepsilon _t\\ 0\end{array} \\ 0\end{array}\\ \vdots \end{array} \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} A_0^{-1} \ 0 \ \cdots \ 0 \ 0 \\ 0 \ \ I_n \ \ \cdots \ \ 0 \ 0 \end{array} \\ 0 \ \ 0 \ \ \ \ \cdots \ \ 0 \ 0 \end{array}\\ \vdots \ \ \vdots \ \ \ddots \ \ \vdots \ \ \vdots \end{array} \\ 0 \ \ 0 \ \cdots \ \ \ \ 0 \ I_n\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{c} u _t\\ 0\end{array} \\ 0\end{array}\\ \vdots \end{array} \\ 0\end{array}\right).$

Наложение структуры на экзогенные переменные

На экзогенные переменные также можно наложить определённую структуру. Рассмотрим в качестве примера модель векторной авторегрессии с $p$ лагами, $n$ эндогенными переменными $y_t$ и $q$ лагами $m$ экзогенных переменных $x_t$:

$y_t=C_y+ \sum_{i=1}^p A_iy_{t-i}+ \sum_{i=0}^q B_ix_{t-i}+ \varepsilon_ t \\ C_y= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}c_{y1}\\ c_{y2}\end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ c_{yn}\end{array} \end{array}\right),   A_i= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}a_{11,i} \ \cdots \ a_{1n,i} \\ \vdots \ \ \ \cdots \ \ \ \vdots \end{array} \\ a_{n1,i} \ \cdots \ a_{nn,i} \end{array}\right), B_i= \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c}b_{11,i} \ \cdots \ b_{1m,i} \\ \vdots \ \ \ \cdots \ \ \ \vdots \end{array} \\ b_{n1,i} \ \cdots \ b_{nm,i} \end{array}\right), \\ \varepsilon _t=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \varepsilon _{1,t}\\ \varepsilon _{2,t}\end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ \varepsilon _{n,t}\end{array} \end{array}\right)=A_0^{-1}u_t=A_0^{-1} \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} u _{1,t}\\ u _{2,t}\end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ u _{n,t}\end{array} \end{array}\right),$

где $C_y$ – матрица констант, $A_i$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины $i$ эндогенных переменных, $B_i$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины $i$ экзогенных переменных, $\varepsilon _t$ – вектор ошибок в период $t$, $A_0$ – структурная матрица размерностью $n \times n$, $u_t$ – вектор структурных шоков в модели для эндогенных переменных в период $t$. При этом экзогенные переменные $x_t$ меняются в соответствии с моделью векторной авторегрессии с $w$ лагами:

$x_t=C_x+ \sum_{i=1}^w Z_i x_{t-i}+ \xi _t \\ C_x = \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} c _{x1}\\ c _{x2}\end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ c _{xn}\end{array} \end{array}\right), \ Z_i = \left(\begin{array}{c} z _{11,i} \ \cdots \ z_{1m,i} \\ \vdots \ \ \ \ddots \ \ \ \vdots \\ z _{m1,i} \ \cdots \ z_{mm,i}\end{array}\right), \ \\ \xi _t=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \xi _{1,t}\\ \xi _{2,t}\end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ \xi _{m,t}\end{array} \end{array}\right) =Z_0^{-1} \mu _t=Z_0^{-1} \left(\begin{array}{c} \begin{array}{c} \mu _{1,t}\\ \mu _{2,t}\end{array} \\ \begin{array}{c} \vdots \\ \mu _{m,t}\end{array} \end{array}\right),$

где $C_x$ – матрица констант, $Z_i$ – матрицы коэффициентов перед лагами глубины $i$, $\xi _t$ – вектор ошибок в период $t$, $Z_0$ – структурная матрица размерностью $m \times m$, $\mu _t$ – вектор структурных шоков в модели для экзогенных переменных в период $t$. Модель для экзогенных переменных можно встроить в VARX модель для переменных $y$, переписав её следующим образом:

$\gamma _t=C+ \sum_{i=1}^{\max(w,p,q)} G_i \gamma_{ t-i}+ \vartheta _t \\ \gamma_ t= \left[\begin{array}{c}x_t\\ y_t\end{array}\right] , \ C= \left[\begin{array}{c}C_x\\ C_y+B_0C_x \end{array}\right] , \ G_i= \left[\begin{array}{c}Z_i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ B_0Z_i+B_i \ \ \ A_i \end{array}\right] , \\ \vartheta _t = \left[\begin{array}{c} \xi _t\\ B_0 \xi _t+ \varepsilon_t \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}Z_0^{-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ B_0Z_0^{-1} \ \ \ A_0^{-1} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \mu_t \\ u_t\end{array}\right] ,$

где $Ζ_i=0$ для $i>w, \ A_i=0$ для $i>p, \ B_i=0$ для $i>q$. Соответственно, дальнейший алгоритм получения декомпозиции дисперсии ошибки прогноза аналогичен описанному ранее.

Применение

В работе Г. Йовичича (Jovičić. 2017) исследовались такие факторы ВВП и инфляции Хорватии, как сырьевые шоки, уровень глобальной деловой активности, внешние шоки со стороны еврозоны и внутренние шоки. На рисунке 1 представлена полученная авторами декомпозиция дисперсии ошибки прогноза ВВП Хорватии.

Рис. 1. Декомпозиция дисперсии ошибки прогноза ВВП Хорватии. Иллюстрация из статьи: Jovičić G., Kunovac K. What is Driving Inflation and GDP in a Small European Economy: The Case of Croatia // Working Papers. 2017. №. 49. P. 11.Рис. 1. Декомпозиция дисперсии ошибки прогноза ВВП Хорватии. Иллюстрация из статьи: Jovičić G., Kunovac K. What is Driving Inflation and GDP in a Small European Economy: The Case of Croatia // Working Papers. 2017. №. 49. P. 11.Примечание: поскольку модель оценивалась с помощью байесовских методов (BVAR модели), сумма вкладов шоков может не равняться единице.

В работе Д. А. Ломоносова и соавторов (Ломоносов. 2021) на основе байесовских моделей векторной авторегрессии российской экономики и нефтяного рынка анализировалась роль шоков деловой активности, шоков спроса на нефтяном рынке и шоков предложения нефти в России. На рисунке 2 представлена декомпозиция дисперсии ошибки прогноза основных макроэкономических переменных российской экономики, полученная в работе.

Рис. 2. Декомпозиция дисперсии ошибки прогноза основных макропеременных российской экономики. Иллюстрация из статьи: Ломоносов Д. А., Полбин А. В., Фокин Н. Д. Влияние шоков мировой деловой активности, предложения нефти и спекулятивных нефтяных шоков на экономику РФ // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2021. Т. 25, №. 2. С. 227–262. Рис. 2. Декомпозиция дисперсии ошибки прогноза основных макропеременных российской экономики. Иллюстрация из статьи: Ломоносов Д. А., Полбин А. В., Фокин Н. Д. Влияние шоков мировой деловой активности, предложения нефти и спекулятивных нефтяных шоков на экономику РФ // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2021. Т. 25, №. 2. С. 227–262.