Санкт-Петербу́ргский парадо́кс, парадокс в области принятия решений в условиях риска. Первая версия формулировки парадокса 1713 г. принадлежит швейцарскому математику Николаю I Бернулли (1687–1759), однако традиционно приводится более наглядная версия, предложенная в 1728 г. другим известным швейцарским математиком, Г. Крамером (1704–1752). В своем письме к Николаю I Бернулли он пишет: «Предположим, индивид А бросает монету, а индивид B обязан осуществить выплату индивиду А по следующей схеме: если при первом подбрасывании выпадает «орёл», то выплачивается 1 дукат, если только со второго броска впервые выпадает «орёл» – 2 дуката, если с третьего – 4, с четвертого – 8 и т. д.» (Bernoulli. С. 33). Т. е. величина выплаты составляет 2^(n-1) дукатов, где n – номер подбрасывания монеты, при котором впервые выпал «орёл».

Математическое ожидание денежного выигрыша в данном случае бесконечно:

$\frac{1}{2} \times 1+ \frac{1}{4 } \times 2+ \frac{1}{8} \times 4+... = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} +...$

При этом понятно, что за то, чтобы оказаться на месте индивида А в этом примере, никто не готов заплатить крупной суммы (Крамер предполагает, что вряд ли кто-то предложит более 20 дукатов).

В упомянутом ранее письме Крамер предлагает своё решение парадокса. Он пишет, что «на практике разумные люди оценивают деньги в соответствии с полезностью, которую могут из них извлечь» (Bernoulli. С. 33). При этом, с одной стороны, увеличение денежного выигрыша сверх некоторой большой суммы (Крамер предлагает в качестве примера 2²⁴ $\approx$ 17 млн дукатов) может уже не увеличивать полезности, т. к. дополнительную сумму уже не на что с пользой потратить. Тогда все суммы выше 2²⁴ оцениваются индивидом с точки зрения полезности как эквивалентные 2²⁴. В этом случае математическое ожидание выигрыша в приведённом примере составит всего

$\frac{1}{2} \times 25+ (( \frac{1}{2} ) ^{-26} \times 2^{24} /1- \frac{1}{2}) = 12,5+0.5 = 13$.

С другой стороны, что более важно, полезность денег для любой их суммы растёт не пропорционально денежному выигрышу, а убывающим темпом («Сумма в 100 млн даёт больше полезности, чем в 10 млн, но не в 10 раз»). Крамер предлагает в качестве примера функцию $\nu (с)= \sqrt[]{с}$, где c – сумма денег, $\nu (с)$ – полезность этой суммы для индивида. Тогда математическое ожидание полезности в Санкт-Петербургском парадоксе равняется

$\frac{1}{2} \times \sqrt[]{1} + \frac{1}{4} \times \sqrt[]{2} + \frac{1}{8} \times \sqrt{4} +... = \frac{1}{2- \sqrt[]{2} }$.

Найти сумму денег, которую индивид согласится отдать за то, чтобы стать индивидом А в данном примере, можно, определив, какая сумма C_e, полученная гарантированно, даст ему ту же полезность:

$\nu$($С_{е}$) = $\sqrt[]{ C_{e} }$ = $\frac{1}{2 - \sqrt[]{2} }$.

Откуда C_e $\approx$ 2,9. Получается, что сумма в данном случае совсем невелика.

Своё название Санкт-Петербургский парадокс получил по месту первой научной публикации. Д. Бернулли (1700–1782) в 1738 г. опубликовал в журнале Императорской академии наук Санкт-Петербурга (одном из ведущих научных журналов Европы того времени) статью «Опыт новой теории измерения жребия». В этой статье, так же как и Крамер, он предполагает (Бернулли пишет, что не знал о письме Крамера Николаю I Бернулли, но когда узнал, подробно процитировал это письмо в итоговой версии своей статьи), что полезность для индивида растёт убывающим темпом при росте его благосостояния. В отличие от Крамера центральную роль для Даниила Бернулли играет не изменение богатства, а его общий уровень для индивида. Говоря в современных терминах, он утверждает, что предельная полезность денег при росте богатства пропорциональна величине этого богатства. Это приводит его к логарифмической форме зависимости полезности от величины богатства (как известно, логарифмическая функция полезности v(c) характеризуется постоянной относительной мерой несклонности к риску Эрроу – Пратта:

$r_{R} =$ - ($\nu$”(c) / $\nu$´(c)) $\times$ c).

Даниил Бернулли не останавливается на проверке того, что в Санкт-Петербургском парадоксе индивид согласится выплатить лишь конечную сумму за то, чтобы оказаться на месте индивида А (теперь конкретная величина такой суммы зависит от имеющегося начального богатства индивида). Он рассматривает вопрос о том, почему страховые контракты могут быть выгодны обеим сторонам. Ответ для него заключается в разном уровне исходного богатства индивида, желающего застраховаться, и страховщика. Последний должен обладать бóльшим богатством, что делает его, в современных терминах, в меньшей степени несклонным к риску.

Идея о том, что функция полезности v(c) имеет в качестве аргумента совокупное богатство индивида, а не его изменение, соответствует в современной экономике неоклассическому подходу к анализу принятия решений в условиях риска. В то же время поведенческая экономика, а именно «теория перспектив» Д. Канемана (род. 1934) и А. Тверски (1937–1996), утверждает, что более уместно использовать в качестве аргумента изменение относительно «точки отсчёта», что в большей мере соответствует версии Крамера. Центральное место в обеих упомянутых современных теориях занимает описанная выше предпосылка, что индивиды в своих решениях руководствуются не математическим ожиданием денежного выигрыша, а математическим ожиданием полезности денежного выигрыша. Таким образом, идеи разрешения Санкт-Петербургского парадокса, предложенные в 1-й половине 18 в., заложили основы современной теории принятия решений в условиях риска.

При этом и подход Крамера (с убывающей предельной полезностью), и подход Д. Бернулли хотя и объясняют Санкт-Петербургский парадокс в той версии, которая рассматривалась выше, тем не менее не исключают появления аналогичных ему парадоксов, если при каждом новом подбрасывании монеты удваивать не денежную сумму c, а величину полезности v(c). Решением в этом случае может быть ограниченность сверху функции полезности. Либо, как в примере Крамера, начиная с некоторой большой суммы полезность перестает расти, либо, что более реалистично, полезность растёт при любой сумме, но функция, тем не менее, имеет горизонтальную асимптоту, как в случае гиперболы.

Существуют также другие подходы к разрешению Санкт-Петербургского парадокса. Так, Николай I Бернулли предполагал, что люди не учитывают возможность наступления очень маловероятных событий. Современные поведенческие экономисты (в т. ч. упомянутые ранее Канеман и Тверски) частично с ним соглашаются. На основе результатов экспериментов они утверждают, что люди плохо различают малые вероятности, например вероятности 0,01% и 0,0001%. Однако если события с такими вероятностями наступления принимаются в расчёт, то их субъективный вес для индивида оказывается скорее преувеличенным. Другая проблема с объяснением об отсутствии учёта маловероятных событий состоит в том, что можно рассмотреть ситуацию рискованного выбора, в которой любой исход будет наступать с малой вероятностью. Что тогда будет оценивать индивид?

Целый ряд аргументов, призванных разрешить Санкт-Петербургский парадокс, связан с практическими сложностями осуществления подобного опыта. Во-первых, индивид B в парадоксе должен обладать неограниченными финансовыми возможностями. Во-вторых, даже если он ими обладает, как, например, центральный банк, который может выпустить в обращение потенциально неограниченное количество денежных средств, то их выпуск приведёт к росту инфляции, что ограничит величину возможных покупок индивида A в парадоксе при очень большом выигрыше. В-третьих, сам процесс подбрасывания монеты занимает время. Если же число подбрасываний ограничено лимитом времени, то ограничено и математическое ожидание денежного выигрыша. По поводу последних аргументов следует отметить, что Санкт-Петербургский парадокс был сформулирован скорее как идеальный мысленный эксперимент и вряд ли стоит требовать от него строгой практической реализуемости.