Нея́вная фу́нкция в алгебраи́ческой геоме́трии, функция, задаваемая алгебраическим уравнением. Пусть $F(X_1, \ldots, X_n, Y)$ – многочлен от $X_1, \ldots, X_n, Y$ (например, с комплексными коэффициентами). Тогда многообразие $V(F)\subset \mathbb{C}^{n+1}$ нулей этого многочлена можно рассматривать как график некоторого соответствия $y : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$. Это соответствие и называют, допуская известную неточность, функцией, неявно заданной уравнением $F(x, y)=0$. Вообще говоря, соответствие $y$ многозначное и не всюду определённое и поэтому не является функцией в обычном смысле. Имеется 2 способа превратить это соответствие в функцию. Первый, восходящий к Б. Риману, заключается в том, что областью определения неявной функции $y$ считают не $\mathbb{C}^n$, а многообразие $V(F)$, конечнолистно накрывающее $\mathbb{C}^n$. Этот приём приводит к очень содержательному понятию римановой поверхности. При таком подходе понятие неявной функции смыкается с понятием алгебраической функции.

Другой способ состоит в том, чтобы представить $V(F)$ локально как график однозначной функции. Различные теоремы о неявной функции утверждают существование открытых подмножеств $U\subset \mathbb{C}^n$ и $W\subset \mathbb{C}$, для которых $(U\times W)\cap V(F)$ является графиком гладкой в том или ином смысле функции $y : U \to W$ (см. в статье Неявная функция). Однако открытые подмножества $U$ и $W$, как правило, не являются открытыми в топологии Зариского и лишены смысла в абстрактной алгебраической геометрии. Поэтому указанный способ модифицируется следующим образом. Формальным ростком (или ветвью) в точке $a\subset \mathbb{C}^n$ неявной функции, заданной уравнением $F(X, Y)=0$, называется формальный степенной ряд $y\in \mathbb{C}\left[ [X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n]\right]$ такой, что $F(X, y)=0$. Вообще степенной ряд $y$, удовлетворяющий полиномиальному уравнению $F(X,Y)=0$, называется алгебраическим степенным рядом. Алгебраический степенной ряд сходится в некоторой окрестности точки $a$.

Пусть $A$ – локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$. Элемент $y$ из пополнения $\hat{A}$ локального кольца $A$ называется алгебраическим над $A$, если $F(y) = 0$ для некоторого многочлена $F(Y)\in A[Y]$. Множество алгебраических над $A$ элементов $\hat{A}$ образует кольцо $\tilde A$. Следующий вариант теоремы о неявной функции показывает, что алгебраических функций достаточно много. Пусть

$$f(Y)=(f_1(Y_1, \ldots, Y_m), \ldots, f_m(Y_1, \ldots, Y_m))$$– набор $m$ многочленов из $A[Y_1, \ldots, Y_m]$ и пусть $\bar {y^0} = (\bar{y^0}_1, \ldots, \bar{y^0}_m)$ – элементы поля вычетов $A/\mathfrak{m}$ такие, что:

1) $\bar{f}(\bar{y^0})=0$ (черта сверху означает редукцию по модулю $\mathfrak{m}$);

2) $\overline{\det \left ( \frac{\partial f_i}{\partial Y_j}\right )} (\bar{y^0}) \neq 0.$

Тогда существуют алгебраические над $A$ элементы $y=(y_1, \ldots, y_m)$ такие, что $f(y)=0$ и $\bar{y}=\bar{y^0}$. Другими словами, $A$ – гензелево кольцо.

Другой результат того же типа – теорема Артина об аппроксимации (Artin. 1969). Пусть $A$ – локальное кольцо, являющееся локализацией алгебры конечного типа над полем. Пусть, далее, задана система $f(Y)=0$ полиномиальных уравнений с коэффициентами из $A$ (или из $\tilde{A}$) и $\hat{y}$ – вектор с коэффициентами из пополнения $\hat{A}$ такой, что $f(\hat{y})=0$. Тогда найдётся вектор $\tilde{y}$ с коэффициентами из $\tilde{A}$, сколь угодно близкий к $\hat{y}$ и такой, что $f(\tilde{y})=0$. Вариант этой теоремы верен (Artin. 1968) и для систем аналитических уравнений.