Спектра́льные гомоло́гии, обратный предел$$\v{H}_n(X;G) = \underset{\longleftarrow}{\rm lim}\, H_n(\alpha; G)$$групп гомологий с коэффициентами в абелевой группе $G$ нервов открытых покрытий $\alpha$ топологического пространства $X$ (они называются также гомологиями Чеха или Александрова – Чеха). Для замкнутого множества $A\subset X$ группы $\v{H}_n(A;G)$ могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем $\alpha'\subset\alpha$ всех тех множеств из $\alpha$, которые имеют непустое пересечение с $A$. Обратный предел групп пар $H_n(\alpha, \alpha'; G)$ называется группой спектральных гомологий $H_n(X,A;G)$ пары $(X, A)$.

Поскольку функтор обратного предела не сохраняет точность, гомологическая последовательность пары $(X, A)$ в общем случае не точна. Она полуточна в том смысле, что композиция любых двух отображений равна нулю. Для компактных $X$ последовательность оказывается точной в случае, когда $G$ – компактная группа или поле (в более общей ситуации – когда группа $G$ алгебраически компактна). Cпектральные гомологии непрерывны в том смысле, что$$\v{H}_n (\underset{\longleftarrow}{\rm lim}\, X_\lambda; G) = \underset{\longleftarrow}{\rm lim}\, \v{H}_n(X_\lambda, G).$$Отсутствие точности – не единственный недостаток спектральных гомологий. Группы $\v{H}_n$ оказываются неаддитивными в том смысле, что гомологии дискретного объединения $X = \bigcup_\lambda X_\lambda$ могут отличаться от прямой суммы $\sum_\lambda \v{H}_n(X_\lambda; G)$. От этого недостатка свободны спектральные гомологии $\v{H}_n^C(X;G)$ с компактными носителями, определяемые как прямой предел $\underset{\longrightarrow}{\rm lim}\, \v{H}_n(C;X)$, взятый по всем компактным подмножествам $C\subset X$, Естественность функтора $\v{H}_n^C$ подтверждается также тем, что любые обычные гомологии (симплициальные, клеточные, сингулярные) – это гомологии с компактными носителями.

Несовпадение функторов $\v{H}_n$ и $\v{H}_n^C$ – один из примеров того, как гомологии реагируют на логические нюансы в их исходном определении (наоборот, когомологии проявляют в этом отношении значительную устойчивость). Среди логически возможных вариантов определения гомологий в общих категориях топологических пространств правильный был отобран не сразу, в связи с чем ассоциированная с когомологиями Александрова – Чеха теория гомологий $H_*^C$ стала распространяться лишь в 1960-х гг. (хотя первые определения были даны в 1940–1950-х гг.). Теория $H_*^C$ удовлетворяет всем аксиомам Стинрода – Эйленберга (и является теорией с компактными носителями). Для компактных $X$ имеет место точная последовательность$$0\to \underset{\longleftarrow}{\rm lim}^1\, H_{n+1}(\alpha; G)\to H_n(X,G)\to \v{H}(X;G)\to 0$$($\underset{\longleftarrow}{\rm lim}^1$ – производный функтор обратного предела). В общем случае имеется эпиморфизм $Н_n^C(X;G)\to \v{H}_n^C(X;G)$, который имеет нулевое ядро для любой алгебраически компактной группы $G$. Для любого гомологически локально связного (по отношению к $H_*^C$) локально компактного пространства функторы $\v{H}_n$, $\v{H}_n^C$ и $H_n^C$ изоморфны.