Аксио́мы Сти́нрода – Э́йленберга, основные свойства групп гомологий (когомологий), однозначно определяющих рассматриваемую теорию гомологий (когомологий). На некоторой категории пар $(X, A)$ топологических пространств задана аксиоматическая теория гомологий, если при любом целом $q$ каждой паре $(X, A)$ сопоставлена абелева группа (или модуль над некоторым кольцом) $H_q(X, A)$, а каждому отображению $f:(X, A) \rightarrow(Y, B)$ – гомоморфизм $f_*: H_q(X, A) \rightarrow H_q(Y, B)$ таким образом, что выполнены следующие аксиомы:

1) $f_*$ – тождественный изоморфизм, если $f$ – тождественный гомеоморфизм;

2) $(g f)_*=g_* f_*$, где $g:(Y, B) \rightarrow(Z, C)$;

3) определены связывающие гомоморфизмы $\partial$ : $H_q(X, A) \rightarrow H_{q-1}(A)$, причём $\partial f_*=f_* \partial$ [здесь $A=(A, \varnothing)$, $\varnothing$ – пустое множество, а определяемое $f$ отображение $A \rightarrow B$ обозначено через $f$ ];

4) аксиома точности: гомологическая последовательность $\ldots \rightarrow H_{q+1} \quad(X, A) \stackrel{\partial}{\longrightarrow} H_q(A) \stackrel{i_*}{\longrightarrow} H_q(X) \stackrel{j_*}{\longrightarrow} H_q(X, A) \stackrel{\partial}{\longrightarrow} H_{q-1}(A) \rightarrow \ldots$, где $i: A \subset X$, $j: X \subset(X, A)$ – естественные вложения, точна, т. е. ядро каждого следующего гомоморфизма совпадает с образом предыдущего;

5) аксиома гомотопии: $f_*=f_*^{\prime}$ для гомотопных в категории отображений $f$, $f^{\prime}:(X, A) \rightarrow(Y, B)$;

6) аксиома вырезания: если замыкание в $X$ открытого в $X$ подмножества $U$ содержится во внутренности $A$, а вложение $i:(X \backslash U, A \backslash U) \subset(X, A)$ принадлежит категории, то $i_*$ – изоморфизмы;

7) аксиома размерности: $H_q(P)=0$ при $q \neq 0$ для любого одноточечного $P$. Группа $H_0(P)$ называется обычно группой коэффициентов. Двойственным образом определяются аксиоматические когомологии [отображениям $f$ соответствуют гомоморфизмы $f^*: H^q(Y, B) \rightarrow H^q(X, A)$; связывающие гомоморфизмы имеют вид $\partial: H^q(A) \rightarrow H^{q+1}(X, A)$]. В категории компактных полиэдров обычные гомологии и когомологии являются единственными аксиоматическими теориями с данной группой коэффициентов (теорема единственности). В категории всех полиэдров теорема единственности справедлива при дополнительном требовании, что гомологии (когомологии) объединения открыто-замкнутых попарно непересекающихся подпространств естественно изоморфны прямой сумме гомологий (прямому произведению когомологий) подпространств (аксиома аддитивности Милнора). Имеется аксиоматическое описание гомологий и когомологий и в более общих категориях топологических пространств (см. Петкова. 1973; Масси. 1981). Обобщённые теории когомологий удовлетворяют всем аксиомам Стинрода – Эйленберга (кроме размерности), но не определяются ими однозначно.