Гомоло́гии с компа́ктными носи́телями, теория частично точных гомологий, удовлетворяющая следующей аксиоме о компактных носителях: для каждого элемента $h$ из $r$-мерной группы $H_r(X,A)$ произвольной пары пространств $(X,A)$ в теории $H$ существует такая компактная пара $(X', A')\subset (X, A)$, что $h$ содержится в образе индуцированного вложением гомоморфизма$$\mu: H_r(X', A')\to H_r(X,A).$$Если теория $H$ точна и имеет компактные носители, то справедлива следующая теорема: для любого элемента $h\in H_r(X', A')$, принадлежащего ядру гомоморфизма $\mu$, существует такая компактная пара $(X'', A'')$, что$$(X', A')\subset (X'', A'')\subset (X, A)$$и $h$ принадлежит ядру гомоморфизма$$H_r(X', A')\to H_r(X'',A'').$$Точная теория обладает компактными носителями тогда и только тогда, когда для любой пары $(X, A)$ группа $H_r(X, A)$ есть прямой предел $\underset{\longrightarrow}{\rm lim} \big\{H_r(X',A') \big\},$ где $(X', A')$ пробегает компактные пары, содержащиеся в $(X,A)$. Точная теория гомологий с компактными носителями единственна на категории произвольных (некомпактных) полиэдральных пар при данной группе коэффициентов, и она эквивалентна сингулярной теории. Наряду с группой $H_r(X,A)$ имеется группа$$H_r^c(X,A) = \underset{\longrightarrow}{\rm lim} \big\{H_r(X',A') \big\},$$где $(X', A')$ – компактные подпары из $(X,A)$. Сингулярная группа гомологий обладает компактными носителями и изоморфна группе $H_r^c(X,A)$. В спектральной теории, кроме групп $H_r(X,A)$ гомологий Александрова – Чеха и групп $H_r^c(X,A)$, рассматривается также группа, являющаяся образом при естественном гомоморфизме$$H_r^c(X, A)\to H_r(X,A);$$эта группа, как и группа $H_r^c(X,A)$, удовлетворяет аксиоме о компактных носителях, но в спектральной теории группой гомологий с компактными носителями обычно называют именно группу $H_r^c(X,A)$. Указанные 3 группы спектральной теории отличны друг от друга, и каждая из них является объектом теоремы двойственности как при дискретной, так и при компактной группе коэффициентов (см. в статье Двойственность в алгебраической топологии).