Сингулярное интегральное уравнение

Сингуля́рное интегра́льное уравне́ние, интегральное уравнение с ядром, обращающимся в бесконечность в области интегрирования так, что соответствующий несобственный интеграл, содержащий неизвестную функцию, расходится и заменяется своим главным значением. Примером сингулярного интегрального уравнения может служить следующее уравнение с т. н. ядром Гильберта: 

$$\displaystyle a\phi(s)+\frac{b}{2\pi}\int_0^{2\pi}\phi(t)\mathrm{ctg}\frac{t-s}{2}dt=f(s),$$решением которого является функция 

$$\begin{aligned}\phi(s)&=\frac{a}{a^2+b^2}f(s)-\frac{b}{2\pi(a^2+b^2)}\int_0^{2\pi}f(t)\mathrm{ctg}\frac{t-s}{2}dt+\\&\quad+\frac{b^2}{2\pi a(a^2+b^2)}\int_0^{2\pi}f(t)dt,\quad a\neq0,\,\,a^2+b^2\neq0, \end{aligned}$$где первый интеграл также понимается в смысле главного значения.

К сингулярным интегральным уравнениям приводят многие задачи теории аналитических функций, теории упругости, гидродинамики. Сингулярные интегральные уравнения впервые (начало 20 в.) встретились в исследованиях А. Пуанкаре (по теории приливов) и Д. Гильберта (по краевым задачам).