Научные законы, утверждения, уравнения

Сингулярное интегральное уравнение

Сингуля́рное интегра́льное уравне́ние, с ядром, обращающимся в бесконечность в области интегрирования так, что соответствующий , содержащий неизвестную функцию, расходится и заменяется своим главным значением. Примером сингулярного интегрального уравнения может служить следующее уравнение с т. н. ядром Гильберта: 

aϕ(s)+b2π02πϕ(t)ctgts2dt=f(s),\displaystyle a\phi(s)+\frac{b}{2\pi}\int_0^{2\pi}\phi(t)\mathrm{ctg}\frac{t-s}{2}dt=f(s),решением которого является функция 

ϕ(s)=aa2+b2f(s)b2π(a2+b2)02πf(t)ctgts2dt++b22πa(a2+b2)02πf(t)dt,a0,a2+b20,\begin{aligned}\phi(s)&=\frac{a}{a^2+b^2}f(s)-\frac{b}{2\pi(a^2+b^2)}\int_0^{2\pi}f(t)\mathrm{ctg}\frac{t-s}{2}dt+\\&\quad+\frac{b^2}{2\pi a(a^2+b^2)}\int_0^{2\pi}f(t)dt,\quad a\neq0,\,\,a^2+b^2\neq0, \end{aligned}где первый интеграл также понимается в смысле главного значения.

К сингулярным интегральным уравнениям приводят многие задачи теории , теории упругости, . Сингулярные интегральные уравнения впервые (начало 20 в.) встретились в исследованиях (по теории приливов) и (по ).

Редакция математических наук
  • Псевдодифференциальное уравнение