Эллипти́ческое уравне́ние, уравнение эллиптического типа, в данной точке, дифференциальное уравнение с частными производными порядка $m$$$\sum a_{i_{1} \ldots i_{n}}(x) \frac{\partial^{m}u}{\partial x_{1}^{i_{1}} \ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}+L_{1} u=f,\quad \sum_{j=1}^{n} i_{j}=m,$$где $L_{1}$ – дифференциальный оператор порядка ниже $m$, характеристической форме которого$$\begin{gathered} K\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)=\sum a_{i_{1} \ldots i_{n}} \lambda_{1}^{i_{1}} \ldots \lambda_{n}^{i_{n}}, \\ \sum_{j=1}^{n} i_{j}=m \end{gathered}$$соответствует каноническое уравнение$$K\left(\lambda_{i}, \ldots, \lambda_{n}\right)=0,$$не имеющее действительных точек, кроме $\lambda_{1}=0, \ldots, \lambda_{n}=0$. Для уравнения 2-го порядка характеристическая форма является квадратичной$$Q\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)=\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}(x) \lambda_{i} \lambda_{j}$$и может быть при помощи неособого аффинного преобразования переменных $\lambda_{i}=\lambda_{i}\left(\xi_{i}, \ldots, \xi_{n}\right)$, $i=1, \ldots, n$, приведена к виду$$Q=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \xi_{i}^{2}.$$Когда все $\alpha_{i}=1$, или $\alpha_{i}=-1$, уравнение называется уравнением эллиптического типа.

Уравнение называется уравнением эллиптического типа в области своего задания, если оно эллиптично в каждой точке этой области.

Уравнение эллиптического типа называется равномерно эллиптическим уравнением, если существуют отличные от нуля действительные числа $k_{0}$ и $k_{1}$ такие, что$$k_{0} \sum_{j=1}^{n} \lambda_{i}^{2} \leqslant Q\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) \leqslant k_{1} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{2}.$$