Научные проблемы, задачи

Задача линейного сопряжения

Зада́ча лине́йного сопряже́ния, задача Римана, задача Гильберта, задача Гильберта – Привалова, задача Римана – Привалова, одна из основных граничных задач теории , формулируемая в простейшем случае следующим образом. Пусть LL – простой гладкий замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область D+D^+ и дополнительную к ней область DD^-, содержащую бесконечно удалённую точку. Пусть на LL заданы две функции G(t)G(t) и g(t)g(t), удовлетворяющие условию Гёльдера (условию HH), причём G(t)0G(t)\ne0 всюду на LL. Требуется найти две функции Φ±(z)\Phi^\pm(z), аналитические соответственно в D±D^\pm, непрерывные вплоть до контура, за исключением конечного числа точек tkt_k, где для них допустимы разрывы при соблюдении условия

Φ(z)<Aztkαk,|\Phi(z)|<\frac{A}{\left|z-t_{k}\right|^{\alpha_{k}}},удовлетворяющие на контуре LL

Φ+(t)=G(t)Φ(t)+g(t),(*)\Phi^{+}(t)=G(t) \Phi^{-}(t)+g(t), \tag{*}при этом функция G(t)G(t) называется коэффициентом задачи. Целое число

ϰ=IndG(t)=12πLdargG(t)=12πidlnG(t)\varkappa=\operatorname{Ind} G(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} d \arg G(t)=\frac{1}{2 \pi i} \int d \ln G(t)называется индексом коэффициента G(t)G(t) и одновременно индексом задачи линейного сопряжения. Пусть отыскивается решение, удовлетворяющее условию Φ()=0\Phi^-(\infty)=0. Тогда при ϰ>0\varkappa>0 однородная задача линейного сопряжения (т. е. когда g(t)0g(t) \equiv 0) и неоднородная задача линейного сопряжения безусловно разрешимы; решения зависят линейно от ϰ\varkappa произвольных постоянных и выражаются линейно через многочлен степени ϰ1\varkappa-1 с произвольными коэффициентами. При ϰ=0\varkappa=0 однородная задача линейного сопряжения имеет лишь тривиальное нулевое решение, а неоднородная задача разрешима безусловно и однозначно. При ϰ<0\varkappa<0 однородная задача имеет лишь нулевое решение, неоднородная задача – единственное решение лишь при выполнении ϰ|\varkappa| условий разрешимости, которые могут быть выражены линейно через многочлен с произвольными коэффициентами.

Решение задачи линейного сопряжения во всех случаях представляется в замкнутой форме – в квадратурах через . Предельные значения искомых функций на контуре необходимо удовлетворяют условию HH. Перечисленные выше результаты без изменения переносятся на случай D+D^+, ограниченной конечным числом простых взаимно непересекающихся замкнутых кривых. Случай контура, составленного из разомкнутых кривых, представляет ту особенность, что на концах кривых контура решения задачи линейного сопряжения, в зависимости от выбираемого класса решений, могут обращаться в бесконечность или оставаться ограниченными. Индекс зависит от выбираемого класса решений. Индекс в классе решений с допустимой на конце бесконечностью порядка меньше единицы (интегрируемая бесконечность) на единицу больше, чем индекс в классе ограниченных на этом конце решений. Соответственно этому на единицу увеличивается число линейно независимых решений или уменьшается число условий разрешимости. Аналогичное положение имеет место в случае, когда коэффициент G(t)G(t) имеет разрывы первого рода; решение в точках разрыва ведет себя так же, как на концах контура.

В общем случае, когда контур состоит из конечного числа расположенных как угодно замкнутых и разомкнутых кривых, задача линейного сопряжения решается теми же методами, что и упомянутые выше простые случаи; при этом получаются аналогичные результаты. Некоторые трудности представляет исследование решения в точках, где встречается несколько кривых контура.

В случае, когда G(t),g(t)G(t), g(t) только непрерывны, но не удовлетворяют условию HH, сформулированные выше результаты остаются в силе, за исключением того, что здесь предельные значения решений существуют лишь при стремлении к контуру по некасательным путям, при этом они не непрерывны, а Φ±(t)Lp\Phi^\pm(t)\in L_p с любым p>0p>0; если функция G(t)G(t) непрерывна, g(t)Lpg(t)\in L_p, то и Φ±(t)Lp\Phi^\pm(t)\in L_p. Наиболее общим предположением для коэффициента G(t)G(t), при котором решена задача линейного сопряжения, является класс с некоторым дополнительным условием на величину скачка аргумента; при этом g(t)Lpg(t)\in L_p.

Рассматривались задачи линейного сопряжения с бесконечным индексом, в которых в качестве контуров брались простые гладкие кривые с одним или обоими концами, уходящими в бесконечность. Исследованы случаи: 1) степенного порядка роста, когда при t|t|\to\infty выполняются асимптотические равенства IndG(t)±tρ\operatorname{Ind}G(t) \sim \pm|t|^{\rho} (0<ρ<0<\rho<\infty для случая одного бесконечного конца, 0<ρ<10<\rho<1 для обоих бесконечных концов); 2) логарифмического порядка, когда при t|t| \rightarrow \infty

IndG(t)±lnαt,0<α<.\operatorname{Ind}G(t) \sim \pm\left|\ln ^{\alpha} t\right|,\qquad 0<\alpha<\infty.В обоих случаях при положительном бесконечном индексе число линейно независимых решений бесконечно и выражается через , вид которой зависит от порядка индексов. При отрицательном бесконечном индексе однородная задача не имеет нетривиальных решений, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного множества условий разрешимости. Главную трудность представляет выделение конечных решений.

Исследовалось решение задачи линейного сопряжения на и равносильной ей задачи на фундаментальной области автоморфной функции, принадлежащей некоторой группе подстановок, в автоморфных функциях этого класса. Число решений или условий разрешимости зависит от индекса, а в некоторых (особых) случаях также от рода поверхности или фундаментальной области.

Если в условии (*) считать GG матрицей, а Φ±\Phi^\pm, gg векторами (nn-мерными), то возникает задача линейного сопряжения для кусочно-аналитического вектора. Этот случай значительно сложнее, чем рассмотренный выше скалярный случай (n=1n=1). Исследование производится сведением к системе интегральных уравнений. Число линейно независимых решений или условий разрешимости зависит от nn независимых величин, называемых частными индексами, зависимость которых от матрицы коэффициентов в явном виде не установлена. Важную роль играет индекс определителя матрицы GG, называемый суммарным индексом задачи.

Впервые задача линейного сопряжения (для кусочно-аналитического вектора) встречается у (В. Riemann, 1857) в связи с решением задачи о построении линейного дифференциального уравнения по заданной группе подстановок (группе монодромии). Однако в том примерно виде, как она сформулирована выше, задача линейного сопряжения была впервые рассмотрена в 1905 г. () при менее общих условиях; первые результаты (альтернативного характера) были получены им путем сведения к интегральному уравнению. И. Племель (), использовав впервые интегралы типа Коши, свел векторную задачу линейного сопряжения к интегральному уравнению и полностью решил поставленную Риманом задачу для дифференциальных уравнений. Неоднородную задачу линейного сопряжения (в несколько иной постановке) впервые рассмотрел (); его результаты относятся главным образом к теоретико-функциональным обобщениям.

Задача линейного сопряжения имеет большое число приложений. Главные из них – в теории . Даны обобщения в различных направлениях – т. н. задача линейного сопряжения со сдвигом, дифференциальная, для обобщённых аналитических функций и другие. Теория задачи линейного сопряжения, ее обобщений и приложений наиболее полно отражена в книгах () и ().

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Аналитические функции
  • Проблемы (математика)
  • Граничные значения