Задача линейного сопряжения
Зада́ча лине́йного сопряже́ния, задача Римана, задача Гильберта, задача Гильберта – Привалова, задача Римана – Привалова, одна из основных граничных задач теории аналитических функций, формулируемая в простейшем случае следующим образом. Пусть – простой гладкий замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область и дополнительную к ней область , содержащую бесконечно удалённую точку. Пусть на заданы две функции и , удовлетворяющие условию Гёльдера (условию ), причём всюду на . Требуется найти две функции , аналитические соответственно в , непрерывные вплоть до контура, за исключением конечного числа точек , где для них допустимы разрывы при соблюдении условия
удовлетворяющие на контуре краевому условию
при этом функция называется коэффициентом задачи. Целое число
называется индексом коэффициента и одновременно индексом задачи линейного сопряжения. Пусть отыскивается решение, удовлетворяющее условию . Тогда при однородная задача линейного сопряжения (т. е. когда ) и неоднородная задача линейного сопряжения безусловно разрешимы; решения зависят линейно от произвольных постоянных и выражаются линейно через многочлен степени с произвольными коэффициентами. При однородная задача линейного сопряжения имеет лишь тривиальное нулевое решение, а неоднородная задача разрешима безусловно и однозначно. При однородная задача имеет лишь нулевое решение, неоднородная задача – единственное решение лишь при выполнении условий разрешимости, которые могут быть выражены линейно через многочлен с произвольными коэффициентами.
Решение задачи линейного сопряжения во всех случаях представляется в замкнутой форме – в квадратурах через интегралы типа Коши. Предельные значения искомых функций на контуре необходимо удовлетворяют условию . Перечисленные выше результаты без изменения переносятся на случай многосвязной области , ограниченной конечным числом простых взаимно непересекающихся замкнутых кривых. Случай контура, составленного из разомкнутых кривых, представляет ту особенность, что на концах кривых контура решения задачи линейного сопряжения, в зависимости от выбираемого класса решений, могут обращаться в бесконечность или оставаться ограниченными. Индекс зависит от выбираемого класса решений. Индекс в классе решений с допустимой на конце бесконечностью порядка меньше единицы (интегрируемая бесконечность) на единицу больше, чем индекс в классе ограниченных на этом конце решений. Соответственно этому на единицу увеличивается число линейно независимых решений или уменьшается число условий разрешимости. Аналогичное положение имеет место в случае, когда коэффициент имеет разрывы первого рода; решение в точках разрыва ведет себя так же, как на концах контура.
В общем случае, когда контур состоит из конечного числа расположенных как угодно замкнутых и разомкнутых кривых, задача линейного сопряжения решается теми же методами, что и упомянутые выше простые случаи; при этом получаются аналогичные результаты. Некоторые трудности представляет исследование решения в точках, где встречается несколько кривых контура.
В случае, когда только непрерывны, но не удовлетворяют условию , сформулированные выше результаты остаются в силе, за исключением того, что здесь предельные значения решений существуют лишь при стремлении к контуру по некасательным путям, при этом они не непрерывны, а с любым ; если функция непрерывна, , то и . Наиболее общим предположением для коэффициента , при котором решена задача линейного сопряжения, является класс измеримых функций с некоторым дополнительным условием на величину скачка аргумента; при этом .
Рассматривались задачи линейного сопряжения с бесконечным индексом, в которых в качестве контуров брались простые гладкие кривые с одним или обоими концами, уходящими в бесконечность. Исследованы случаи: 1) степенного порядка роста, когда при выполняются асимптотические равенства ( для случая одного бесконечного конца, для обоих бесконечных концов); 2) логарифмического порядка, когда при
В обоих случаях при положительном бесконечном индексе число линейно независимых решений бесконечно и выражается через целую функцию, вид которой зависит от порядка индексов. При отрицательном бесконечном индексе однородная задача не имеет нетривиальных решений, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного множества условий разрешимости. Главную трудность представляет выделение конечных решений.
Исследовалось решение задачи линейного сопряжения на римановой поверхности и равносильной ей задачи на фундаментальной области автоморфной функции, принадлежащей некоторой группе подстановок, в автоморфных функциях этого класса. Число решений или условий разрешимости зависит от индекса, а в некоторых (особых) случаях также от рода поверхности или фундаментальной области.
Если в условии (*) считать матрицей, а , векторами (-мерными), то возникает задача линейного сопряжения для кусочно-аналитического вектора. Этот случай значительно сложнее, чем рассмотренный выше скалярный случай (). Исследование производится сведением к системе интегральных уравнений. Число линейно независимых решений или условий разрешимости зависит от независимых величин, называемых частными индексами, зависимость которых от матрицы коэффициентов в явном виде не установлена. Важную роль играет индекс определителя матрицы , называемый суммарным индексом задачи.
Впервые задача линейного сопряжения (для кусочно-аналитического вектора) встречается у Б. Римана (В. Riemann, 1857) в связи с решением задачи о построении линейного дифференциального уравнения по заданной группе подстановок (группе монодромии). Однако в том примерно виде, как она сформулирована выше, задача линейного сопряжения была впервые рассмотрена в 1905 г. Д. Гильбертом (Hilbert. 1924) при менее общих условиях; первые результаты (альтернативного характера) были получены им путем сведения к интегральному уравнению. И. Племель (Plemelj. 1908), использовав впервые интегралы типа Коши, свел векторную задачу линейного сопряжения к интегральному уравнению и полностью решил поставленную Риманом задачу для дифференциальных уравнений. Неоднородную задачу линейного сопряжения (в несколько иной постановке) впервые рассмотрел И. И. Привалов (Привалов. 1934); его результаты относятся главным образом к теоретико-функциональным обобщениям.
Задача линейного сопряжения имеет большое число приложений. Главные из них – в теории сингулярных интегральных уравнений. Даны обобщения в различных направлениях – т. н. задача линейного сопряжения со сдвигом, дифференциальная, для обобщённых аналитических функций и другие. Теория задачи линейного сопряжения, ее обобщений и приложений наиболее полно отражена в книгах (Мусхелишвили. 1968) и (Гахов. 1977).