Задача линейного сопряжения

Зада́ча лине́йного сопряже́ния, задача Римана, задача Гильберта, задача Гильберта – Привалова, задача Римана – Привалова, одна из основных граничных задач теории аналитических функций, формулируемая в простейшем случае следующим образом. Пусть $L$ – простой гладкий замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область $D^+$ и дополнительную к ней область $D^-$, содержащую бесконечно удалённую точку. Пусть на $L$ заданы две функции $G(t)$ и $g(t)$, удовлетворяющие условию Гёльдера (условию $H$), причём $G(t)\ne0$ всюду на $L$. Требуется найти две функции $\Phi^\pm(z)$, аналитические соответственно в $D^\pm$, непрерывные вплоть до контура, за исключением конечного числа точек $t_k$, где для них допустимы разрывы при соблюдении условия

$$|\Phi(z)|<\frac{A}{\left|z-t_{k}\right|^{\alpha_{k}}},$$удовлетворяющие на контуре $L$ краевому условию

$$\Phi^{+}(t)=G(t) \Phi^{-}(t)+g(t), \tag{*}$$при этом функция $G(t)$ называется коэффициентом задачи. Целое число

$$\varkappa=\operatorname{Ind} G(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{L} d \arg G(t)=\frac{1}{2 \pi i} \int d \ln G(t)$$называется индексом коэффициента $G(t)$ и одновременно индексом задачи линейного сопряжения. Пусть отыскивается решение, удовлетворяющее условию $\Phi^-(\infty)=0$. Тогда при $\varkappa>0$ однородная задача линейного сопряжения (т. е. когда $g(t) \equiv 0$) и неоднородная задача линейного сопряжения безусловно разрешимы; решения зависят линейно от $\varkappa$ произвольных постоянных и выражаются линейно через многочлен степени $\varkappa-1$ с произвольными коэффициентами. При $\varkappa=0$ однородная задача линейного сопряжения имеет лишь тривиальное нулевое решение, а неоднородная задача разрешима безусловно и однозначно. При $\varkappa<0$ однородная задача имеет лишь нулевое решение, неоднородная задача – единственное решение лишь при выполнении $|\varkappa|$ условий разрешимости, которые могут быть выражены линейно через многочлен с произвольными коэффициентами.

Решение задачи линейного сопряжения во всех случаях представляется в замкнутой форме – в квадратурах через интегралы типа Коши. Предельные значения искомых функций на контуре необходимо удовлетворяют условию $H$. Перечисленные выше результаты без изменения переносятся на случай многосвязной области $D^+$, ограниченной конечным числом простых взаимно непересекающихся замкнутых кривых. Случай контура, составленного из разомкнутых кривых, представляет ту особенность, что на концах кривых контура решения задачи линейного сопряжения, в зависимости от выбираемого класса решений, могут обращаться в бесконечность или оставаться ограниченными. Индекс зависит от выбираемого класса решений. Индекс в классе решений с допустимой на конце бесконечностью порядка меньше единицы (интегрируемая бесконечность) на единицу больше, чем индекс в классе ограниченных на этом конце решений. Соответственно этому на единицу увеличивается число линейно независимых решений или уменьшается число условий разрешимости. Аналогичное положение имеет место в случае, когда коэффициент $G(t)$ имеет разрывы первого рода; решение в точках разрыва ведет себя так же, как на концах контура.

В общем случае, когда контур состоит из конечного числа расположенных как угодно замкнутых и разомкнутых кривых, задача линейного сопряжения решается теми же методами, что и упомянутые выше простые случаи; при этом получаются аналогичные результаты. Некоторые трудности представляет исследование решения в точках, где встречается несколько кривых контура.

В случае, когда $G(t), g(t)$ только непрерывны, но не удовлетворяют условию $H$, сформулированные выше результаты остаются в силе, за исключением того, что здесь предельные значения решений существуют лишь при стремлении к контуру по некасательным путям, при этом они не непрерывны, а $\Phi^\pm(t)\in L_p$ с любым $p>0$; если функция $G(t)$ непрерывна, $g(t)\in L_p$, то и $\Phi^\pm(t)\in L_p$. Наиболее общим предположением для коэффициента $G(t)$, при котором решена задача линейного сопряжения, является класс измеримых функций с некоторым дополнительным условием на величину скачка аргумента; при этом $g(t)\in L_p$.

Рассматривались задачи линейного сопряжения с бесконечным индексом, в которых в качестве контуров брались простые гладкие кривые с одним или обоими концами, уходящими в бесконечность. Исследованы случаи: 1) степенного порядка роста, когда при $|t|\to\infty$ выполняются асимптотические равенства $\operatorname{Ind}G(t) \sim \pm|t|^{\rho}$ ($0<\rho<\infty$ для случая одного бесконечного конца, $0<\rho<1$ для обоих бесконечных концов); 2) логарифмического порядка, когда при $|t| \rightarrow \infty$

$$\operatorname{Ind}G(t) \sim \pm\left|\ln ^{\alpha} t\right|,\qquad 0<\alpha<\infty.$$В обоих случаях при положительном бесконечном индексе число линейно независимых решений бесконечно и выражается через целую функцию, вид которой зависит от порядка индексов. При отрицательном бесконечном индексе однородная задача не имеет нетривиальных решений, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного множества условий разрешимости. Главную трудность представляет выделение конечных решений.

Исследовалось решение задачи линейного сопряжения на римановой поверхности и равносильной ей задачи на фундаментальной области автоморфной функции, принадлежащей некоторой группе подстановок, в автоморфных функциях этого класса. Число решений или условий разрешимости зависит от индекса, а в некоторых (особых) случаях также от рода поверхности или фундаментальной области.

Если в условии (*) считать $G$ матрицей, а $\Phi^\pm$, $g$ векторами ($n$-мерными), то возникает задача линейного сопряжения для кусочно-аналитического вектора. Этот случай значительно сложнее, чем рассмотренный выше скалярный случай ($n=1$). Исследование производится сведением к системе интегральных уравнений. Число линейно независимых решений или условий разрешимости зависит от $n$ независимых величин, называемых частными индексами, зависимость которых от матрицы коэффициентов в явном виде не установлена. Важную роль играет индекс определителя матрицы $G$, называемый суммарным индексом задачи.

Впервые задача линейного сопряжения (для кусочно-аналитического вектора) встречается у Б. Римана (В. Riemann, 1857) в связи с решением задачи о построении линейного дифференциального уравнения по заданной группе подстановок (группе монодромии). Однако в том примерно виде, как она сформулирована выше, задача линейного сопряжения была впервые рассмотрена в 1905 г. Д. Гильбертом (Hilbert. 1924) при менее общих условиях; первые результаты (альтернативного характера) были получены им путем сведения к интегральному уравнению. И. Племель (Plemelj. 1908), использовав впервые интегралы типа Коши, свел векторную задачу линейного сопряжения к интегральному уравнению и полностью решил поставленную Риманом задачу для дифференциальных уравнений. Неоднородную задачу линейного сопряжения (в несколько иной постановке) впервые рассмотрел И. И. Привалов (Привалов. 1934); его результаты относятся главным образом к теоретико-функциональным обобщениям.

Задача линейного сопряжения имеет большое число приложений. Главные из них – в теории сингулярных интегральных уравнений. Даны обобщения в различных направлениях – т. н. задача линейного сопряжения со сдвигом, дифференциальная, для обобщённых аналитических функций и другие. Теория задачи линейного сопряжения, ее обобщений и приложений наиболее полно отражена в книгах (Мусхелишвили. 1968) и (Гахов. 1977).