Многообразие

Многообра́зие, многомерное обобщение понятий линии и поверхности без особых точек. Топологическим многообразием размерности ${\displaystyle n}$ называется топологическое пространство ${\displaystyle M}$, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару ${\displaystyle x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}<1}$ ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$. Обычно предполагают также, что ${\displaystyle M}$ покрывается конечным или счётным числом окрестностей такого рода и что ${\displaystyle M}$ отделимо, т. е. любые две его точки обладают непересекающимися окрестностями.

Разнообразные примеры многообразий размерностей ${\displaystyle 1,2}$ и ${\displaystyle 3}$ встречаются в геометрии. Прямая, открытый интервал, парабола, окружность, эллипс – одномерные многообразия. Любая область на плоскости, сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. – двумерные многообразия. Поверхность конуса не является многообразием, т. к. вершина конуса, в которой сходятся две его полости, не имеет окрестности, гомеоморфной кругу. Обычное трёхмерное евклидово пространство, а также любая область в нём – трёхмерное многообразие.

Введение в математику понятия многообразия любого числа измерений было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математического анализа, механики и физики. Это понятие применимо практически во всех ситуациях, когда рассматриваемые объекты могут быть параметризованы системами действительных чисел. Точками возникающих при этом многообразий могут быть объекты любой природы – прямые, сферы, матрицы, состояния механической системы и пр.

Многообразие называется замкнутым, если оно компактно, и открытым в противном случае. Каждое замкнутое многообразие размерности ${\displaystyle 1}$ гомеоморфно окружности, а каждое открытое – прямой (на рис. 1 изображены одномерные многообразия и окрестности точки ${\displaystyle P}$ на каждом из них).

В случае двух измерений уже замкнутые многообразия довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологических типов: сфера – поверхность рода ${\displaystyle 0}$ (рис. 2, а), тор – поверхность рода ${\displaystyle 1}$ (рис. 2, б), «крендель» – поверхность рода ${\displaystyle 2}$ (рис. 2, в), вообще «сфера с ${\displaystyle n}$ ручками» – поверхность рода ${\displaystyle n}$ (на рис. 2, г изображена такая поверхность при ${\displaystyle n=3}$).

Этими примерами исчерпываются все топологические типы замкнутых двумерных ориентированных многообразий. Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых многообразий – односторонних поверхностей; например, проективная плоскость, поверхность Клейна. Имеется классификация открытых двумерных многообразий. Полная классификация многообразий трёх измерений не найдена (даже для случая замкнутых многообразий).

Определение топологического многообразия не даёт возможности определить дифференцируемые функции и другие понятия математического анализа на многообразии. Чтобы эти понятия приобрели смысл, необходимо ввести на многообразии дополнительную структуру. В окрестности любой точки ${\displaystyle n}$-мерного топологического многообразия существуют локальные координаты ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$, однозначно определяющие положение точки этой окрестности. Если выбрать локальные координаты в окрестности любой точки многообразия таким образом, что две разные системы локальных координат в пересекающихся окрестностях выражаются друг через друга при помощи функций класса ${\displaystyle C^{k},k\geqslant 1}$, то получится гладкая структура класса ${\displaystyle k}$. Обычно берут ${\displaystyle k=\infty }$ и многообразие с гладкой структурой называют дифференцируемым (или гладким) многообразием. Дифференцируемые многообразия имеют большое значение в современной математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (см. Дифференциальная геометрия). На одном и том же топологическом многообразии могут существовать различные (и даже не изоморфные) гладкие структуры. Аналогично вводится понятие аналитического многообразия. Если считать локальные координаты комплексными числами и потребовать, чтобы они выражались друг через друга при помощи аналитических функций, то получится понятие комплексного (аналитического) многообразия.

Понятие многомерного многообразия впервые сформулировано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854). В 1913 г. Г. Вейль ввёл понятие (абстрактной) римановой поверхности, т. е. одномерного комплексного многообразия (с каждой аналитической функцией комплексного переменного связывается такое многообразие, называемое римановой поверхностью этой функции).

В современной математике рассматриваются также различные обобщения понятия многообразия. Таковы, например, многообразия с краем (типичным примером которых является замкнутый шар ${\displaystyle x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2}\leqslant 1}$ в пространстве ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$), а также аналитические пространства (включающие в себя вещественные или комплексные аналитические поверхности с особыми точками).