Конус

Ко́нус (коническая поверхность), множество прямых (образующих) евклидова пространства, проходящих через все точки некоторой линии (направляющей) и данную точку ${\displaystyle O}$ пространства (вершину конуса). Если направляющая – прямая, то конус превращается в плоскость. Если направляющая – кривая второго порядка, не лежащая в одной плоскости с вершиной, то получается конус второго порядка (рис. 1, где направляющей служит эллипс).

Простейшим из конусов второго порядка является прямой круговой конус, направляющей которого служит окружность, а вершина ортогонально проецируется в её центр.

В этом случае конической поверхностью является совокупность всех прямых (образующих), проходящих через одну и ту же точку ${\displaystyle O}$ и составляющих один и тот же угол с прямой, проходящей через центр окружности и точку ${\displaystyle O}$ (осью конуса). Коническая поверхность имеет две полости, расположенные симметрично относительно вершины.

Иногда конусом называют множество ${\displaystyle K}$, состоящее из всех полупрямых, исходящих из точки ${\displaystyle O}$ и лежащих в одной из полостей конической поверхности. Часто конусом называют пересечение ${\displaystyle K}$ с полупространством, содержащим ${\displaystyle O}$ и ограниченным плоскостью, не проходящей через ${\displaystyle O}$ (рис. 2).

В этом случае часть плоскости, лежащая внутри конической поверхности, называется основанием конуса, а часть конической поверхности, заключённой между вершиной и основанием, – боковой поверхностью конуса.

Если основание прямого кругового конуса есть круг радиуса ${\displaystyle R}$, а длина отрезка между вершиной и основанием (высота конуса) равна ${\displaystyle h}$, то объём такого конуса равен

${\displaystyle V=\pi R^{2}h/3}$,

площадь боковой поверхности равна

${\displaystyle S_{\text{бок}}=\pi Rl}$,

где ${\displaystyle l}$ – длина отрезка образующей между вершиной и основанием.

Часть конуса, заключённая между двумя параллельными плоскостями, называется усечённым конусом, или коническим слоем (рис. 3). Слой прямого кругового конуса между плоскостями, параллельными основанию, имеет объём

${\displaystyle V=\pi (R^{2}+r^{2}+Rr)h/3}$,

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ – радиусы оснований усечённого конуса, ${\displaystyle h}$ – его высота, т. е. отрезок, соединяющий центры его оснований, площадь боковой поверхности

${\displaystyle S_{\text{бок}}=\pi l(R+r)}$,

где ${\displaystyle l}$ – длина отрезка образующей.