Аналитическое многообразие

Аналити́ческое многообра́зие, многообразие с аналитическим атласом. Структура ${\displaystyle n}$-мерного аналитического многообразия над полным недискретно нормированным полем ${\displaystyle k}$ на топологическом пространстве ${\displaystyle M}$ определяется заданием на ${\displaystyle M}$ аналитического атласа над ${\displaystyle k}$, т. е. набора карт со значениями в ${\displaystyle k^{n}}$, покрывающего ${\displaystyle M}$, любые две карты из которого связаны между собой аналитически. При этом считается, что два атласа определяют одну и ту же структуру, если их объединение является аналитическим атласом. На аналитическом многообразии ${\displaystyle M}$ определён пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ростков ${\displaystyle k}$-значных аналитических функций. Возникающий таким образом класс окольцованных пространств ${\displaystyle (M,{\mathcal {O}})}$ совпадает с классом гладких аналитических пространств над ${\displaystyle k}$.

В случае, если ${\displaystyle k}$ – поле действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, говорят о вещественных аналитических многообразиях; если ${\displaystyle k}$ – поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, – о комплексных аналитических (или просто комплексных) многообразиях; если ${\displaystyle k}$ – поле ${\displaystyle p}$-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, – о ${\displaystyle p}$-адических аналитических многообразиях. Примерами аналитических многообразий являются: ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство ${\displaystyle k^{n}}$, ${\displaystyle n}$-мерное проективное пространство над ${\displaystyle k}$, аффинные и проективные алгебраические многообразия над ${\displaystyle k}$ без особых точек, группы Ли и их однородные пространства.

Понятие аналитического многообразия восходит к Б. Риману и Ф. Клейну (В. Riemann, F. Klein), но впервые было точно сформулировано Г. Вейлем (Weyl. 1955^[1]) для случая римановых поверхностей, т. е. одномерных комплексных многообразий. Аналитические многообразия естественно рассматривать как частный случай аналитических пространств, которые можно грубо описать как «многообразия с особыми точками». Понятие аналитического пространства возникло в 50-х гг. 20 в. и стало основным объектом теории аналитических функций; многие фундаментальные результаты, полученные для аналитических многообразий, удалось перенести на негладкий случай. Изложение общих свойств аналитических многообразий над произвольным полем можно найти в работе Ж.-П. Серра (Серр. 1969^[2]).

Существует тесная связь между теориями вещественных аналитических и дифференцируемых многообразий, а также между теориями вещественных и комплексных аналитических многообразий. Очевидно, на всяком вещественном аналитическом многообразии определена естественная структура многообразия класса ${\displaystyle C^{\infty }}$. В 1936 г. X. Уитни (Н. Whitney) доказал, что и обратно, на всяком паракомпактном многообразии класса ${\displaystyle C^{\infty }}$ можно определить аналитическую структуру над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, индуцирующую исходную гладкую структуру. Из теоремы Г. Грауэрта (Н. Grayert) о вложимости паракомпактного аналитического многообразия над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в евклидово пространство следует, что эта аналитическая структура определена однозначно, с точностью до изоморфизма (не обязательно тождественного) (см. Нарасимхан. 1971^[3]).

На каждом комплексном многообразии ${\displaystyle M}$ определена естественная структура вещественного аналитического многообразия (удвоенной размерности). Ответ на обратный вопрос, т. е. на вопрос о существовании и единственности комплексной структуры на заданном вещественном аналитическом многообразии, получен только в простейших случаях. Так, если ${\displaystyle M}$ – связное двумерное вещественное аналитическое многообразие, то необходимыми и достаточными условиями существования комплексной структуры на ${\displaystyle M}$ являются паракомпактность и ориентируемость, а задача классификации этих структур есть классическая задача о модулях римановых поверхностей. Имеется классификация компактных аналитических поверхностей (т. е. двумерных компактных комплексных многообразий), дающая частичный ответ на поставленный выше вопрос для 4-мерных вещественных многообразий. С другой стороны, при помощи топологических методов можно указать классы вещественных многообразий, не допускающих почти комплексных и тем более комплексных структур. К таким многообразиям относятся сферы ${\displaystyle S^{2k}}$ при ${\displaystyle k\neq 1,\,3}$.

Описание комплексных структур, достаточно близких к заданной, даёт теория деформаций аналитических структур, важную роль в которой играют банаховы аналитические многообразия – бесконечномерные аналоги аналитических многообразий.