Окрестность точки

Окре́стность то́чки ${\displaystyle x}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, множество ${\displaystyle U\subset X}$, для которого ${\displaystyle x}$ – внутренняя точка. Другими словами, окрестность – множество, которое содержит открытое множество, содержащее ${\displaystyle x}$ (окрестности могут быть замкнутыми, компактными и т. д.); аналогично определяется окрестность множества. Например, окрестность точки на прямой – любой интервал, содержащий эту точку.

Симметричный интервал ${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$, где ${\displaystyle \varepsilon >0}$, или, что то же самое, множество действительных чисел ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \mid x-a\mid <\varepsilon }$, называется ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью точки ${\displaystyle a}$. Окрестность «точки плюс бесконечность» – интервал ${\displaystyle (M,+\infty )}$, где ${\displaystyle M>0}$ произвольно, или, что то же самое, множество действительных ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle x>M}$. Окрестность «точки минус бесконечность» – интервал ${\displaystyle (-\infty ,M)}$, где ${\displaystyle M<0}$ произвольно, или, что то же самое, множество действительных чисел ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle x<M}$. На плоскости ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность точки ${\displaystyle a}$ есть внутренность круга (открытый круг) с центром в точке ${\displaystyle a}$ и радиусом, равным ${\displaystyle \varepsilon }$. Окрестность бесконечно удалённой точки есть внешность любого круга, содержащего начало координат. В метрическом пространстве ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность, ${\displaystyle \varepsilon >0}$, точки (элемента) ${\displaystyle a}$ есть множество всех ${\displaystyle x\in X}$, для которых расстояние до точки ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle \varepsilon }$, т. е. ${\displaystyle d(x,a)<\varepsilon }$.