Эллипс

Э́ллипс (греч. ἔλλειψις – недостаток, выпадение, опущение), линия пересечения круглого конуса с плоскостью, пересекающей одну его полость. Такое сечение изображено на рис., а. Эллипс может быть также определён как геометрическое место точек ${\displaystyle M}$ плоскости ${\displaystyle Oxy}$ (рис., б), для которых сумма расстояний ${\displaystyle r_{1}=F_{1}M}$ и ${\displaystyle r_{2}=F_{2}M}$ до двух фиксированных точек ${\displaystyle F_{1}(-c,0)}$ и ${\displaystyle F_{2}(c,0)}$ (фокусов эллипса) этой плоскости есть величина постоянная: ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$. Середина ${\displaystyle O}$ отрезка ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ (фокусного расстояния) называется центром эллипса.

В прямоугольной системе координат ${\displaystyle Oxy}$ с началом в центре эллипса, на оси ${\displaystyle Ox}$ которой лежат фокусы эллипса, уравнение эллипса принимает т. н. канонический вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b^{2}=a^{2}-c^{2},}$

где ${\displaystyle a=OA=OB}$ и ${\displaystyle b=OC=OD}$ – длины большой и малой полуосей эллипса. При ${\displaystyle a=b}$ фокусы ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая является частным случаем эллипса.

Эллипс – замкнутая линия второго порядка, она симметрична относительно осей ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$ и центра эллипса. Форма эллипса (его вытянутость) определяется эксцентриситетом ${\displaystyle e=c/a<1}$ (для окружности ${\displaystyle e=0}$). Прямые, уравнения которых ${\displaystyle x=-a/e}$ и ${\displaystyle x=a/e}$, называются директрисами эллипса; отношение расстояния точки эллипса до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету. Точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ пересечения эллипса с осями ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ называются вершинами эллипса. Площадь, ограниченная эллипсом, равна ${\displaystyle \pi ab}$.