Компактное множество

Компа́ктное мно́жество, такое подмножество ${\displaystyle M}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$, что каждая бесконечная последовательность ${\displaystyle \{x_{i},i\in \mathbb {Z} \}}$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке ${\displaystyle x_{0}}$ пространства ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle x_{0}\in M}$, то ${\displaystyle M}$ называется компактным в себе множеством. Оно является компактным пространством в индуцированной из ${\displaystyle X}$ топологии. Обратно: всякое компактное множество метрического пространства является в такой топологии компактным пространством. Множество, замыкание которого – компактное множество, называется относительно компактным множеством.