Парабола

Пара́бола (греч. παραβολή – приложение, сравнение, сближение), множество точек ${\displaystyle M=M(x,y)}$ плоскости (рис. 1), для которых расстояние ${\displaystyle r=FM}$ до определённой точки ${\displaystyle F(p/2,0)}$ этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию ${\displaystyle d=DM}$ до определённой

прямой ${\displaystyle D_{1}D'_{1}}$ (директрисы параболы). Прямая, проходящая через фокус ${\displaystyle F}$ перпендикулярно директрисе ${\displaystyle D_{1}D'_{1}}$, называется осью параболы, точка пересечения параболы с осью – вершиной параболы.

В прямоугольной системе координат ${\displaystyle Oxy}$ с началом в вершине параболы и осью ${\displaystyle Ox}$, направленной по оси параболы от директрисы к фокусу, уравнение параболы имеет т. н. канонический вид

${\displaystyle y^{2}=2px}$,

где ${\displaystyle p}$ (фокальный параметр) – расстояние от фокуса до директрисы или половина длины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси.

Парабола – нецентральная линия второго порядка. Она состоит из одной бесконечной ветви, симметричной относительно оси. Эксцентриситет параболы ${\displaystyle e=1}$. Диаметр параболы – прямая, проходящая через середины параллельных хорд (рис. 2).

Касательная ${\displaystyle TM}$ и нормаль ${\displaystyle NM}$ к параболе в точке ${\displaystyle M}$ (рис. 3) являются биссектрисами углов

между фокальным радиус-вектором ${\displaystyle FM}$ и диаметром ${\displaystyle DM}$. Поэтому если в фокусе параболы поместить источник света, то исходящие из него лучи после зеркального отражения от кривой образуют пучок, параллельный её оси.

Радиус кривизны параболы в точке ${\displaystyle M(x,y)}$

${\displaystyle R=(p+2x)^{3/2}/{\sqrt {p}}}$;

в вершине ${\displaystyle R=p}$.

Площадь сегмента ${\displaystyle AOM}$ (рис. 4) равна ${\displaystyle 4x_{1}y_{1}/3}$.

В полярной системе координат (полюс в фокусе параболы, полярная ось направлена по оси параболы) уравнение параболы имеет вид

${\displaystyle \rho ={\dfrac {p}{1-\cos \varphi }}}$.

Уравнение параболы с вертикальной осью (рис. 5):

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

(фокальный параметр ${\displaystyle p=\mid a\mid /2}$); при ${\displaystyle a>0}$ парабола обращена вершиной вниз, при ${\displaystyle a<0}$ – вершиной вверх, координаты вершины

${\displaystyle x_{0}={\dfrac {b}{2a}},\qquad y_{0}={\dfrac {4ac-b^{2}}{4a}}}$.

Иногда параболу ${\displaystyle n}$-го порядка называют графиком степенной функции ${\displaystyle y=ax^{n}}$.

Название «парабола» ввёл Аполлоний Пергский (около 200 до н. э.), рассматривавший параболу как одно из конических сечений.