Проективная плоскость

Проекти́вная пло́скость, евклидова плоскость, дополненная бесконечно удалёнными (несобственными) точками и прямой. При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой – получается проективная прямая (параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные прямые – разными). Все несобственные точки всех проективных прямых проективной плоскости принадлежат несобственной прямой. После дополнения евклидовой плоскости несобственными элементами становится верным утверждение: любые две прямые пересекаются.

Проективную плоскость можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных между собой троек действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как точки проективной плоскости (и тогда числа ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$ называются однородными координатами точек), либо как прямые проективной плоскости (и числа ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$, ${\displaystyle u_{3}}$ называются однородными координатами прямых). Отношение инцидентности точки и прямой выражается равенством ${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{3}u_{i}x_{i}=0}$.

В более общем смысле проективная плоскость – совокупность двух множеств элементов, называемых соответственно точками и прямыми, для которых определены отношения инцидентности и порядка так, что соблюдаются требования аксиом проективной геометрии.