Дифференцируемое многообразие

Дифференци́руемое многообра́зие, ${\displaystyle n}$-мерное топологическое пространство, покрытое открытыми множествами ${\displaystyle U_{\alpha }}$, удовлетворяющими условиям:

1) для каждого ${\displaystyle U_{\alpha }}$ имеется гомеоморфизм ${\displaystyle {{\ce {\phi _{\alpha}:U_{\alpha}->V}}}}$, где ${\displaystyle V}$ есть ${\displaystyle n}$-мерный шар в пространстве ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{n}}$;

2) если ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \emptyset }$, то отображение

${\displaystyle \phi _{\beta }^{\alpha }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$

является дифференцируемым отображением. Говорят, что покрытие ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ и гомеоморфизмы ${\displaystyle \{\phi _{\alpha }\}}$ задают дифференцируемую структуру на исходном топологическом пространстве.