Аналитическое продолжение

Аналити́ческое продолже́ние функции, доопределение функции ${\displaystyle f_{0}}$, определённой на некотором подмножестве ${\displaystyle E}$ комплексного многообразия ${\displaystyle M}$, до функции ${\displaystyle f}$, голоморфной в некоторой области ${\displaystyle D\subset M}$, содержащей ${\displaystyle E}$, такое, что сужение ${\displaystyle f\mid E=f_{0}}$ функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$ совпадает с ${\displaystyle f_{0}}$. Отправным в теории аналитического продолжения является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары ${\displaystyle (D,f)}$, где ${\displaystyle D}$ – область на ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle f}$ – голоморфная в ${\displaystyle D}$ функция. Говорят, что элементы ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$ и ${\displaystyle \left(D_{1},f_{1}\right)}$ составляют непосредственное аналитическое продолжение друг друга через связную компоненту ${\displaystyle \Delta }$ множества ${\displaystyle D_{0}\cap D_{1}}$, если ${\displaystyle f_{0}\left|\Delta =f_{1}\right|\Delta }$. Элемент ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$, по определению, аналитически продолжается в граничную точку ${\displaystyle \zeta \in \partial D\subset M}$, если существует непосредственное аналитическое продолжение ${\displaystyle \left(D_{1},f_{1}\right)}$ элемента ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$ через ${\displaystyle \Delta }$ такое, что ${\displaystyle \zeta \in {\bar {\Delta }}\cap D_{1}}$. Максимальным (в ${\displaystyle M}$) аналитическим продолжением ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$ называется элемент ${\displaystyle (D,f)}$, аналитически продолжающий ${\displaystyle f_{0}}$ в область ${\displaystyle D\supset D_{0}}$, но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку ${\displaystyle D}$. Максимальное аналитическое продолжение ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$ в ${\displaystyle M}$ единственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над ${\displaystyle M}$ (римановы поверхности в случае ${\displaystyle M=\mathbb {C} }$), которые строятся из элементов, аналитически продолжающих ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$. Элемент${\displaystyle (D,f)}$ называется аналитическим продолжением элемента ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$, если существует конечный набор элементов ${\displaystyle \left(D_{i},f_{i}\right)}$, ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}$, и связных компонент ${\displaystyle \Delta _{i}}$ соответственно в ${\displaystyle D_{i}\cap D_{i+1}}$ таких, что ${\displaystyle \left(D_{n},f_{n}\right)=(D,f)}$ и ${\displaystyle \left(D_{i},f_{i}\right)}$, ${\displaystyle \left(D_{i+1},f_{i+1}\right)}$ являются непосредственными аналитическими продолжениями друг друга через ${\displaystyle \Delta _{i}}$. Говорят, что голоморфная функция ${\displaystyle f_{0}}$, определённая первоначально в области ${\displaystyle D_{0}}$, аналитически продолжается в точку ${\displaystyle z\in M}$, если существует аналитическое продолжение${\displaystyle (D,f)}$ элемента ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$ такое, что ${\displaystyle z\in D}$. Среди элементов, продолжающих ${\displaystyle f_{0}}$ в точку ${\displaystyle z}$, вводится отношение эквивалентности: ${\displaystyle \left(D^{\prime },f^{\prime }\right)\sim \left(D^{\prime \prime },f^{\prime \prime }\right)}$, если ${\displaystyle z\in D^{\prime }\cap D^{\prime \prime }}$ и ${\displaystyle f^{\prime }=f^{\prime \prime }}$ в окрестности ${\displaystyle z}$. На множестве классов эквивалентности ${\displaystyle D_{f}}$ (для всех возможных ${\displaystyle z}$) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над ${\displaystyle M}$. Функция ${\displaystyle f_{0}}$ естественно поднимается в ${\displaystyle D_{f}}$ [значение на классе эквивалентности в ${\displaystyle z}$, содержащем ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)}$, полагаем равным ${\displaystyle f_{0}(z)}$], аналитически продолжается на всю ${\displaystyle D_{f}}$ и в определённом смысле не продолжается ни в одну граничную точку ${\displaystyle D_{f}}$ над ${\displaystyle M}$.

В случае когда ${\displaystyle M}$ есть комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ или, более общо́, комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, этот процесс аналитического продолжения описывается проще. Каноническим элементом называется пара ${\displaystyle \left(D_{a},f_{a}\right)}$, где ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle f_{a}}$ – степенной ряд с центром в точке ${\displaystyle a}$ с непустой областью сходимости ${\displaystyle D_{a}}$. Канонический элемент ${\displaystyle \left(D_{b},f_{b}\right)}$ называется аналитическим продолжением ${\displaystyle \left(D_{a},f_{a}\right)}$ вдоль пути ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$, если существует семейство канонических элементов ${\displaystyle \left(D_{t},f_{t}\right)}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$, с центрами ${\displaystyle a_{t}=z(t)}$ таких, что ${\displaystyle \left(D_{0},f_{0}\right)=\left(D_{a},f_{a}\right)}$, ${\displaystyle \left(D_{1},f_{1}\right)=\left(D_{b},f_{b}\right)}$ и для каждого ${\displaystyle t_{0}\in \gamma }$ элементы ${\displaystyle \left(D_{t},f_{t}\right)}$ являются непосредственными аналитическими продолжениями ${\displaystyle \left(D_{t_{0}},f_{t_{0}}\right)}$ для всех ${\displaystyle t}$, достаточно близких к ${\displaystyle t_{0}}$. Семейство ${\displaystyle \left(D_{t},f_{t}\right)}$ на самом деле определяется однозначно. Если ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$, ${\displaystyle 0\leqslant \tau \leqslant 1}$, есть непрерывное семейство путей в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ с общими концами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и если ${\displaystyle \left(D_{a},f_{a}\right)}$ аналитически продолжается вдоль каждого ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$, то результат ${\displaystyle \left(D_{b},f_{b}\right)}$ не зависит от ${\displaystyle \tau }$ (теорема монодромии). Точками ${\displaystyle D_{f}}$ в случае ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ являются канонические элементы ${\displaystyle \left(D_{a},f_{a}\right)}$, получаемые посредством аналитического продолжения вдоль всевозможных путей в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$; ${\displaystyle f_{a}}$ поднимается в ${\displaystyle D_{f}}$ аналитически на всю ${\displaystyle D_{f}}$ до голоморфной функции ${\displaystyle f}$, причём ${\displaystyle D_{f}}$ есть область голоморфности ${\displaystyle f}$.

Описанный общий процесс аналитического продолжения практически малоэффективен, поэтому в анализе используется много специальных методов аналитического продолжения. Сюда относятся различные аналитические представления: интегралы, зависящие от параметра [[[Интеграл Коши|интеграл типа Коши]], интеграл Лапласа, интеграл Бореля (см. Преобразование Бореля) и др.], замена переменного в степенном ряду, специальные способы суммирования степенных рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходящийся в максимальном полигоне (см. Метод суммирования Бореля), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в максимальной звезде (см. в статьях Звезда элемента функции, Метод суммирования Миттаг-Леффлера) и др.], принцип симметрии Римана – Шварца, функциональные и дифференциальные уравнения, определяющие функцию [например, уравнение ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ для гамма-функции, условия периодичности, чётности, симметрии и т. п.], аналитические выражения через известные функции.

К теме аналитического продолжения относятся также исследования о связи между исходным элементом аналитической функции (рядом Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом (Бибербах. 1967^[1]); результаты об особых точках (критерии особых точек, мультипликационная теорема Адамара, теорема Фабри об отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, например теорема Aдамара о лакунах, теорема Фабри о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях аналитического продолжения степенного ряда со свойствами целой функции, определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного продолжения, мероморфное продолжение при помощи aппроксимаций Паде и др. К аналитическому продолжению следует отнести и теоремы об устранении особенностей (устранение изолированной особенности ограниченной голоморфной функции, устранение спрямляемых разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также большой класс теорем об одновременном продолжении голоморфных функций многих комплексных переменных. В ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ при ${\displaystyle n>1}$ имеются области, из которых любая голоморфная функция продолжается в более широкую область (в одномерном случае такого явления нет). Поэтому важной задачей аналитического продолжения функций многих комплексных переменных является описание этих более широких областей – т. н. голоморфных расширений, например известны описания оболочек голоморфности для областей Гартогса, ${\displaystyle n}$-круговых и трубчатых областей, теоремы об устранении компактных особенностей и особенностей коразмерности ${\displaystyle \geqslant 2}$, теорема Боголюбова «острие клина» и теорема В. С. Владимирова о ${\displaystyle C}$-выпуклой оболочке (Владимиров. 1964^[2]). Известно несколько эффективных методов построения голоморфного расширения областей (Владимиров. 1964).

Аналитическое продолжение функций действительного переменного сводится к аналитическому продолжению голоморфных функций, т. к. для любой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ и любой функции ${\displaystyle f}$, аналитической в ${\displaystyle G}$, найдутся область ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ и голоморфная в ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ такие, что ${\displaystyle D\cap \mathbb {R} ^{n}=G}$ и ${\displaystyle {\tilde {f}}\mid G=f}$.