Аппроксимация Паде

Аппроксима́ция Паде́, наилучшая рациональная аппроксимация степенного ряда. Пусть

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}z^{k}}$ (*)

– произвольный степенной ряд (формальный или сходящийся), ${\displaystyle m,n\geqslant 0}$ – целые числа, ${\displaystyle R_{n,m}}$ – класс всех рациональных функций вида ${\displaystyle p/q}$, где ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ – многочлены от ${\displaystyle z}$, и степени многочленов ${\displaystyle \deg q\leqslant m}$, ${\displaystyle \deg p\leqslant n}$, ${\displaystyle q\not \equiv 0}$. Аппроксимацией Паде типа ${\displaystyle (n,m)}$ ряда ${\displaystyle (*)}$ называется рациональная функция ${\displaystyle \pi _{n,m}\in R_{n,m}}$, имеющая максимально возможный в классе ${\displaystyle R_{n,m}}$ порядок касания с рядом ${\displaystyle (*)}$ в точке ${\displaystyle z=0}$. Точнее, функция ${\displaystyle \pi _{n,m}}$ определяется условием

${\displaystyle \sigma (f-\pi _{n,m})=\max\{\sigma (f-r):r\in R_{n,m}\}}$,

где ${\displaystyle \sigma (\phi )}$ – индекс первого из отличных от нуля коэффициентов ряда

${\displaystyle \displaystyle \phi (z)=\sum _{k=0}^{\infty }\phi _{k}z^{k}}$.

Функцию ${\displaystyle \pi _{n,m}}$ можно определить также как отношение ${\displaystyle p/q}$ любых многочленов ${\displaystyle p,q,\,q=0}$, удовлетворяющих соотношениям

${\displaystyle \deg p\leqslant n,\,\,\deg q\leqslant m,\,\,(qf-p)(z)=A_{n,m}z^{n+m+1}+\ldots }$

При фиксированных ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$ существует единственная аппроксимация Паде ${\displaystyle \pi _{n,m}}$ ряда ${\displaystyle (*)}$. Таблица ${\displaystyle \{\pi _{n,m}\}_{n,m=0}^{\infty }}$ называется таблицей Паде ряда ${\displaystyle (*)}$. Последовательности ${\displaystyle \{\pi _{n,m}\}_{n=0}^{\infty }}$называются строками таблицы Паде (нулевая строка совпадает с последовательностью многочленов Тейлора для ${\displaystyle f}$), ${\displaystyle \{\pi _{n,m}\}_{m=0}^{\infty }}$ – столбцами таблицы Паде, ${\displaystyle \{\pi _{n+j,n}\}_{n=0}^{\infty }}$ – диагоналями таблицы Паде. Наиболее важному случаю главной диагонали соответствует ${\displaystyle j=0}$.

Вычисление функции ${\displaystyle \pi _{n,m}}$ сводится к решению системы линейных уравнений, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты ${\displaystyle f_{k}}$, ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n+m}$, заданного ряда. Если отличен от нуля определитель Ганкеля

${\displaystyle \Delta _{n,m}={\begin{matrix}f_{n-m+1}&f_{n-m+2}&\dots &f_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\f_{n}&f_{n+1}&\dots &f_{n+m-1}\end{matrix}}}$,

то знаменатель ${\displaystyle q_{n,m}}$ функции ${\displaystyle \pi _{n,m}}$ определяется по формуле

${\displaystyle q_{n,m}={\dfrac {1}{\Delta _{n,m}}}{\begin{matrix}&&&f_{n+1}\\\ &&&.\\\ &\Delta _{n,m}&&.\\\ &&&.\\\ &&&f_{n+m}\\\ z^{n}&\dots &z&1\\\end{matrix}}}$,

при этом ${\displaystyle q_{n,m(0)}=1}$. Явная формула может быть выписана и для числителя функции ${\displaystyle \pi _{n,m}}$.

Справедливо равенство

${\displaystyle (f-\pi _{n,m})(z)=A_{n,m}z^{n+m+1}+\ldots }$

Последнее соотношение иногда принимают в качестве определения аппроксимации Паде; в этом случае аппроксимации Паде могут не существовать для некоторых пар ${\displaystyle (n,m)}$. Для обозначения аппроксимации Паде типа ${\displaystyle (n,m)}$ заданного ряда ${\displaystyle f}$ часто употребляют символ

${\displaystyle [n/m]=[n/m]_{f}}$.

Для эффективного вычисления аппроксимации Паде удобнее пользоваться не явными формулами, а реккурентными соотношениями, существующими в таблице Паде. Разработано большое число алгоритмов для машинного вычисления аппроксимаций Паде.

Название аппроксимация Паде получила по имени французского математика А. Паде, применявшего её (1892) в рамках классической теории непрерывных дробей. Частные случаи аппроксимации Паде изучались начиная с 1820 г. О. Коши, К. Якоби, Ф. Г. Фробениусом. Фундаментальные результаты о диагональных аппроксимациях Паде получены П. Л. Чебышёвым, А. А. Марковым и Т. Стилтьесом. С начала 20 в. аппроксимация Паде стала самостоятельным объектом анализа и составляет важную часть теории рациональных приближений аналитических функций. С помощью аппроксимации Паде, при построении которой используются локальные данные (коэффициенты степенного ряда), можно получать результаты о глобальных свойствах соответствующей аналитической функции (аналитическое продолжение, характер и расположение особенностей и т. д.) и вычислять значение функции за пределами круга сходимости степенного ряда.