Принцип симметрии Римана – Шварца

При́нцип симме́трии Ри́мана – Шва́рца (принцип симметрии Шварца) для аналитических функций. Пусть область ${\displaystyle G}$ расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ ограничена замкнутой жордановой кривой ${\displaystyle \Gamma }$, в состав которой входит дуга ${\displaystyle l}$ окружности ${\displaystyle L}$ расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$. Пусть, далее, функция ${\displaystyle f(z)}$ определена и непрерывна на ${\displaystyle G\cup l}$, аналитична в ${\displaystyle G}$, а на ${\displaystyle l}$ принимает значения, принадлежащие некоторой окружности ${\displaystyle C}$ расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$. Тогда ${\displaystyle f(z)}$ продолжается через дугу ${\displaystyle l}$ в область ${\displaystyle G^{*}}$, симметричную с ${\displaystyle G}$ относительно ${\displaystyle L}$, до функции, аналитической в области ${\displaystyle G\cup l\cup G^{*}}$. Такое продолжение (через ${\displaystyle l}$) единственно и определяется следующим свойством продолженной функции ${\displaystyle f(z)}$: если точки ${\displaystyle z\in G}$ и ${\displaystyle z^{*}\in G^{*}}$ симметричны (инверсны) относительно ${\displaystyle L}$, то точки ${\displaystyle w=f(z)}$ и ${\displaystyle w^{*}=f(z^{*})}$ симметричны относительно ${\displaystyle C}$. В частности, если ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle C}$ совпадают с действительной осью плоскости ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$, то ${\displaystyle f(z)={\overline {f({\overline {z}})}}}$ при ${\displaystyle z\in G\cup l\cup G^{*}}$. Под окружностями расширенной комплексной плоскости понимаются как собственно окружности, так и прямые. Непрерывность также может пониматься как в обычном, так и в обобщённом смысле, т. е. когда ${\displaystyle f(z)}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle z_{0}}$, если ${\displaystyle {{\ce {f(z) -> f(z_{0})}}}}$ при ${\displaystyle {{\ce {z -> z_{0}}}}}$, независимо от конечности или бесконечности величины ${\displaystyle z_{0}}$. Кривая ${\displaystyle \Gamma }$, равно как и ${\displaystyle l}$, может проходить через точку ${\displaystyle \infty }$. По условию ${\displaystyle f(l)\subset C}$ , но не обязательно ${\displaystyle f(l)=C}$. Кроме того, если ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle G^{*}}$ имеют общие внутренние точки, то продолженная функция в этих точках может быть неоднозначной.

Принцип симметрии для гармонических функций при тех же ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle G^{*}}$ формулируется так: если функция ${\displaystyle u(x,y)}$ гармонична в ${\displaystyle G}$, непрерывна на ${\displaystyle G\cup l}$ и равна нулю на ${\displaystyle l}$, то ${\displaystyle u}$ продолжается через ${\displaystyle l}$ в ${\displaystyle G^{*}}$ до функции, гармонической в ${\displaystyle G\cup l\cup G^{*}}$ . При этом если точки ${\displaystyle (x,y)\in G}$ и ${\displaystyle (x^{*},y^{*})\in G^{*}}$ симметричны относительно ${\displaystyle L}$, то и ${\displaystyle u(x^{*},y^{*})=-u(x,y)}$.

Обобщением принципа симметрии на случай аналитических дуг ${\displaystyle l}$ (и ${\displaystyle C}$) является принцип Шварца аналитического продолжения аналитических и гармонических функций (см. Schwarz. 1890^[1]; Привалов. 1977^[2]). Обобщение принципа симметрии для гармонических функций на случай функций любого числа переменных называется принципом отражения. Принцип симметрии широко используется в приложениях теории аналитических и гармонических функций (при конформных отображениях областей с одной или несколькими осями симметрии; в теории упругости, гидромеханике, электростатике и т. д.).