Преобразование Бореля

Преобразова́ние Боре́ля, интегральное преобразование вида

${\displaystyle \gamma (t)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-zt}dz}$,

где ${\displaystyle f(z)}$ – целая функция экспоненциального типа. Преобразование Бореля есть частный случай преобразования Лапласа. Функция ${\displaystyle \gamma (t)}$ называется ассоциированной функцией (по Борелю) с ${\displaystyle f(z)}$. Если

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}z^{n}}$,

тo

${\displaystyle \gamma (t)=\sum _{\nu =0}^{\infty }a_{\nu }t^{-(\nu +1)}}$;

ряд сходится при ${\displaystyle \mid t\mid >\sigma }$, где ${\displaystyle \sigma }$ – тип функции ${\displaystyle f(z)}$. Пусть ${\displaystyle {\bar {D}}}$ – наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все особенности функции ${\displaystyle \gamma (t)}$,

${\displaystyle K(\varphi )=\max _{z\in {\bar {D}}}\operatorname {Re} \left(ze^{-i\varphi }\right)}$

– опорная функция множества ${\displaystyle {\bar {D}}}$ и ${\displaystyle h(\varphi )}$ – индикатриса роста функции ${\displaystyle f(z)}$. Тогда ${\displaystyle K(\varphi )=h(-\varphi )}$. Если интегрирование в преобразование Бореля происходит по лучу ${\displaystyle \arg z=\varphi }$, то соответствующий интеграл сходится в полуплоскости ${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi >K(-\varphi )}$. Пусть ${\displaystyle C}$ – замкнутый контур, охватывающий ${\displaystyle {\bar {D}}}$. Тогда

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\gamma (t)e^{zt}dt}$.

При дополнительных условиях из этой формулы могут быть выведены и другие представления. Так, пусть имеется класс целых функций ${\displaystyle f(z)}$ экспоненциального типа ${\displaystyle \leqslant \sigma }$, для которых

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mid f(x)\mid ^{2}dx<\infty }$.

Этот класс совпадает с классом функций ${\displaystyle f(z)}$, допускающих представление

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{izt}\varphi (t)dt}$,

где ${\displaystyle \varphi (t)\in L^{2}(-\sigma ,\sigma )}$.