Комплексное пространство

Компле́ксное простра́нство (комплексное аналитическое пространство), аналитическое пространство над полем комплексных чисел. Наиболее простым и употребительным комплексным пространством является числовое комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, точками, или элементами, которого являются всевозможные ${\displaystyle n}$-строки ${\displaystyle (z_{1}\ldots z_{n})}$, ${\displaystyle (z'_{1}\ldots z'_{n})}$, ${\displaystyle \ldots }$, составленные из произвольных комплексных чисел ${\displaystyle z_{\nu }=x_{\nu }+iy_{\nu }}$, ${\displaystyle z'_{\nu }=x'_{\nu }+iy'_{\nu }}$, ${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$. Комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ есть векторное пространство над полем комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с операциями сложения

${\displaystyle z+z^{\prime }=(z_{1}+z'_{1},\ldots ,z_{n}+z'_{n})}$

и умножения на число ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \lambda z=(\lambda z_{1}\ldots \lambda z_{n})}$,

а также метрическое пространство с евклидовой метрикой

${\displaystyle \rho (z,z')=\mid z-z'\mid ={\sqrt {\sum _{\nu =1}^{n}\mid z_{\nu }-z'_{\nu }\mid ^{2}}}=}$
${\displaystyle ={\sqrt {\sum _{\nu =1}^{n}(x_{\nu }-x'_{\nu })^{2}+(y_{\nu }-y'_{\nu })^{2}}}.}$
${\displaystyle }$

Иначе говоря, комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ получается в результате комплексификации числового действительного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ есть топологическое произведение ${\displaystyle n}$ комплексных плоскостей ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} }$.