Степенной ряд

Степенно́й ряд, функциональный ряд

${\displaystyle a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$,

где коэффициенты ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots }$, – комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного ${\displaystyle z}$. Областью сходимости степенного ряда является открытый круг ${\displaystyle D=\{z:\mid z\mid <R\}}$ с центром в точке ${\displaystyle z=0}$. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда, а его радиус ${\displaystyle R}$ – радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в пустое множество (в этом случае ${\displaystyle R=0}$ и степенной ряд сходится в единственной точке ${\displaystyle z=0}$; пример даёт степенной ряд ${\displaystyle 1+1!z+\ldots +n!z^{n}+\ldots }$) или совпадать со всей комплексной плоскостью (в этом случае${\displaystyle R=\infty }$; пример даёт степенной ряд ${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+\ldots +{\frac {z^{n}}{n!}}}$). Для действительных ${\displaystyle z}$ круг сходимости превращается в интервал сходимости на действительной оси. Радиус сходимости степенного ряда вычисляется через его коэффициенты по формуле Коши – Адамара

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\mathop {\overline {\mathrm {lim} }} \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|a_{n}\right|}}}$.

Во всех точках круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности ${\displaystyle \mid z\mid =R}$) степенной ряд может как сходиться, так и расходиться, примеры дают степенной ряд ${\displaystyle 1+z+\ldots +z^{n}+\ldots }$, для которого ${\displaystyle R=1}$, этот степенной ряд расходится в каждой точке окружности ${\displaystyle \mid z\mid =1}$, и степенной ряд

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1^{2}}}+\ldots +{\frac {z^{n}}{n^{2}}}+\ldots }$,

для которого ${\displaystyle R=1}$ и который сходится во всех точках окружности ${\displaystyle \mid z\mid =1}$. В любой внешней точке круга сходимости (т. е. при ${\displaystyle \mid z\mid >R}$) степенной ряд расходится. Внутри круга сходимости сумма степенного ряда

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

является аналитической функцией; производные любого порядка функции ${\displaystyle f(x)}$ можно получить почленным дифференцированием данного ряда, при этом сам степенной ряд совпадает с рядом Тейлора своей суммы.