Коразмерность

Коразме́рность, 1) коразмерность (или факторразмерность) подпространства ${\displaystyle L}$ в векторном пространстве ${\displaystyle V}$, размерность факторпространства ${\displaystyle V/L}$; она обозначается ${\displaystyle \operatorname {codim} _{V}L}$ или просто ${\displaystyle \operatorname {codim} L}$ и совпадает с размерностью прямого дополнения к ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle V}$. Справедливо равенство

${\displaystyle \operatorname {dim} L+\operatorname {codim} L=\operatorname {dim} V}$.

Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ – 2 подпространства в ${\displaystyle V}$, имеющие конечные коразмерности, то ${\displaystyle M\cap N}$ и ${\displaystyle M+N}$ также имеют конечные коразмерности, причём

${\displaystyle \operatorname {codim} (M+N)+\operatorname {codim} (M\cap N)=\operatorname {codim} M+\operatorname {codim} N}$.

2) Коразмерность подмногообразия ${\displaystyle N}$ в дифференцируемом многообразии ${\displaystyle M}$ – коразмерность касательного подпространства ${\displaystyle T_{x}(N)}$ в касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}(M)}$ в точке ${\displaystyle x\in N}$. Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ конечномерны, то

${\displaystyle \operatorname {codim} N=\operatorname {dim} M-\operatorname {dim} N}$.

Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ – дифференцируемые многообразия, ${\displaystyle L}$ – подмногообразие в ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ – дифференцируемое отображение, трансверсальное подмногообразию ${\displaystyle L}$, то

${\displaystyle \operatorname {codim} f^{-1}(L)=\operatorname {codim} L}$.

3) Коразмерность алгебраического подмногообразия (или аналитического пространства) ${\displaystyle Y}$ в алгебраическом многообразии (аналитическом пространстве) ${\displaystyle X}$ – разность

${\displaystyle \operatorname {codim} Y=\operatorname {dim} X-\operatorname {dim} Y}$.